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数学Aについて分からない問題があります。
答えは載っているので分かりますが、
解き方がわかりません。

問題①
5個の数字0.1.2.3.4を使って4ケタの数を作る。

⑴各桁の数字が異なるとき、奇数は何個作れるか
[答え.36個]

⑵各桁の数字に重複を許すとき、偶数は何個作れるか
      [答え.300個]

問題②

⑴ 6人の生徒をA.Bの2部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、全員を1つの部屋に入れてもよい。
        [答え.64通り]
⑵ 6人の生徒を2つのグループに分ける方法は何通りあるか。     [答え.31通り]
 


問題①の⑵について、計算方法が全くわかりません。

問題②の⑴について、
6人の生徒をA.Bの部屋に3人ずつ入れる、であれば分かります。しかしそういった[〜人ずつ]がないので、どのように計算すればよいかわかりません。


問題②の⑵に関しても、「3人ずつの(A.Bなどの隔たりのない)2つのグループに分ける」ならば、わかります。
しかし、[〜人ずつ]がないので、どのように計算すればよいかわかりません。

質問者からの補足コメント

  • 補足です。
    最後の問題以外はわかりました。

    [6人の生徒を2つのグループに分ける方法は何通りあるか]
    について、
    一つ目のグループに6人、二つ目のグループに0人
    だと、2つのグループに分けたことにならないので、

    1人 と 5人
    2人 と 4人
    3人 と 3人

    のグループになるのではないかと思ったのですが、
    6c5 + 6c4 + 6c3という風にしか思いつきません。



    → 今書いてて閃いたのですが、これって「2つのグループ」に分けるから、
    ②の⑴の答えである64通りから、

    6人と0人、0人と6人の分の 2通り を消して、

    それを教科書に書いてある様に

    「A.Bなどのグループの区別がなくなったときは「グループの数!」で割れば良いので

    62÷2!=31なのではないか?となりました。

    分かりました。
    皆様の丁寧な解説のおかげです。
    皆さま ありがとうございました。

      補足日時:2023/02/08 21:57

A 回答 (5件)

問題①は「4桁の数」という言葉が曖昧で、よろしくない出題です。

すなわち「0123は4桁なのか」というところがはっきりしません。
 が、答を見るとどうやら「一番上の桁が0であってはダメ。だから0123は4桁ではない。」ということらしい。

問題①⑴
わからんのなら全部書き出してみればいいんですが、もうちょっとマシな考え方もある。まず、一番下の桁は奇数にするために1,3のどっちかから選ぶ。一番上の桁は(0であってはダメなので)残り4つの数字のうち0以外、つまり3つのうちから選ぶ。上から2番目の桁は0を含めて残り3つのうちから選ぶ。上から3番目の桁は残り2つの数字から選ぶ。何通りあるか。ただの掛け算ですね。

問題①⑵
「一番上の桁は(0であってはダメなので)1〜4のどれかから選び、一番下の桁は偶数にするために0,2,4のうちから選ぶ。2番目と3番目の桁は0〜4のどれかを選ぶ。何通りできるか。」ただの掛け算ですね。

問題②の⑴
「6人を一列に並べて、それぞれが"0"か"1"のフダを掲げ、さて、"0"の人はAへ、"1"の人はBへ行く。」というのでも同じことで、そうすると「2個の数字0,1を使って6ケタの数を作る。(ただし最初の桁が0であっても良い。)何通りできるか。」と全く同じ問題だとわかるでしょう。

問題②の⑵
 問題②の⑴ で"0"か"1"のフダを掲げるところまでは同じだけど、全員"0"というのと全員"1"というのはナシにする。(そうすると、「2個の数字0,1を使って6ケタの数を作る。(ただし最初の桁が0であっても良い。)ただし000000と111111は除く。さて何通りできるか。」という話。)さてそれで、「"0"をA、”1"をB」としても、「"0"をB、”1"をA」とするのと、どっちも分け方としては変わらない。だから、「さて何通りできるか。」の答の半分が答。

 「あ、これは人を分ける問題だな」だなんてヘンテコな分類(猫だったらどうすんのさ)をしてちゃいけませんし、パターンで憶えようとするのもムダです。
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この回答へのお礼

助かりました

丁寧なご解説をありがとうございます。
柔軟な発想がとても勉強になりました。

お礼日時:2023/02/08 22:00

樹形図を考えてみると分かると思います。



問題①の⑵
各桁の数字に重複を許すので同じ数字を何度でも使えます。

千の位の数字は0以外の4通り。
百の位の数字は5通り。
十の位の数字は5通り。
一の位の数字は 0,2,4 の3通り。
これらの組合せになるので、
4×5×5×3=300(個)

問題②の⑴
6人の生徒に番号をつけて、1,2,3,4,5,6 とします。
この6人の生徒一人ずつについて部屋AかBかを決めます。
生徒1はAかBの2通り。
生徒2はAかBの2通り。
生徒3はAかBの2通り。
生徒4はAかBの2通り。
生徒5はAかBの2通り。
生徒6はAかBの2通り。
これらの組合せになるので、
2×2×2×2×2×2=64(通り)

問題②の⑵
⑴の64通りをもとに、部屋A、Bの区別がない場合を考えます。
(ⅰ)⑴では、全員を1つの部屋に入れる場合の2通り
   (全員が部屋A)(全員が部屋B)
   が含まれていますが、
   ⑵ では、これは生徒を2つのグループに分けたことに
   ならないので除きます。
   よって、64ー2=62(通り)

(ⅱ)(部屋Aに1,部屋Bに2,3,4,5,6)
   (部屋Aに2,3,4,5,6、部屋Bに1)
    のように部屋の生徒がそっくり入れ替わった場合は
    2つのグループ分けとしては同じものです。
    62通りのすべての場合について、
    このような関係があります。
    よって、6人の生徒を2つのグループに分ける方法は
    62÷2=31(通り)
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この回答へのお礼

助かりました

丁寧なご解説をありがとうございます。
お陰様で全て解けました。

お礼日時:2023/02/08 21:59

①(1)は先頭が1、2、3、4、最後が1、3



だから先頭と最後の組み合わせは
13、21、23、31、41、43 の6パターン
間にいれる2桁の並べ方は、残り3個の数字の順列だから 3P2=6通り。

6×6=36通り。

(2)は各桁に入れられる数字の数が決まっているのだから簡単過ぎる。
このヒントで自力で出来ないなら絶望するしかない。

②~人ずつが解るなら、6人と0人、5人と1人、・・・
を個別にだして足せばいい。
(2)はグループに順序がないから、ちょっと工夫がいるが
一案として、6人のうち特定の一人の入るグループをA、もう一つのグループをBとして
残り5人で考えれば(1)と同じ問題に帰着するので。
A 6人+B 0人→5C5=1
同様に
5人+1人→5C4=5
4人+2人→5C3=10
3人+3人→5C2=10
2人+4人→5C1=5
1人+5人→5C0=1
計31
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この回答へのお礼

助かりました

丁寧なご解説をありがとうございます。
お陰様で絶望せずに済みました。

お礼日時:2023/02/08 21:59

①の(2)だけ。


偶数ならば ⇔ 1の位(右端)が0,2,4,6,8

4桁だから、左の桁から順番に
1桁目は0以外・・・4通り
2桁目はどれでも良いから・・・5通り
3桁目もどれでも良いから・・・5通り
4桁目は、0,2,4・・・・3通り

∴4×5×5×3=300通り
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この回答へのお礼

助かりました

丁寧にご解説頂きありがとうございました。

お礼日時:2023/02/08 22:01

分け方さえ分かれば解けそうなので、


ざっくりと書いておきます。

①(2)

下1桁0,2,4で場合分けをして、
出てきた結果を全部足す


②(2)

6人、5人+1人、4人+2人、3人+3人で場合分けをして、
出てきた結果を全部足す
(グループに区別がないので、上記の4パターンだけです)
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この回答へのお礼

助かりました

丁寧なご解説を ありがとうございました。

お礼日時:2023/02/08 22:03

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