教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

絶対値のついた不等式を解くとき、両辺を二乗して解いても答えは正しくなるのですか?
|ax+b|<kの場合は、-k<ax+b<kの場合と同じ答えになるが、
|ax+b|<cx+dの場合は、同じ答えにならないと聞いたような気がするのですが、はっきり分かりません。どなたか教えてください。

gooドクター

A 回答 (1件)

  |x - 1| < -2x + 1


のとき,
<場合分け>
(i) x > 1 のとき,
  x - 1 < -2x + 1
    3x < 2
    x < 2/3
  よって,不適
(ii) x ≦ 1 のとき,
  -(x - 1) < -2x + 1
      x < 0
  よって,x < 0
(i),(ii)より,x < 0

これが,正解ということを踏まえて,
<2乗>
   |x - 1|^2 < (-2x + 1)^2
  x^2 - 2x + 1 < 4x^2 - 4x + 1
   x(3x - 2) > 0
    x < 0 , 2/3 < x
よって,誤答
<|ax+b|<k ⇒ -k<ax+b<k のやり方>
  -(-2x + 1) < x - 1 < -2x + 1
x < 0 , 2/3 < x
よって,誤答

となるので,結論としては駄目です.
しかし,次のことに注意すれば使ってもかまいません.

  |x - 1| < -2x + 1
において,左辺|x - 1| は常に,
  |x - 1| ≧ 0
が成り立つ.よって,
  0 ≦ |x - 1| < -2x + 1
より,
  -2x + 1 ≧ 0
    x ≦ 1/2
これを含めて考えれば,<2乗>,<|ax+b|<k ⇒ -k<ax+b<k のやり方>の
どちらの方法でも,正しい結論,x < 0 を得られます.

誤答となる原因は,
A ≧ 0 , B ≧ 0 のとき
  A < B ←→ A^2 < B^2
がどちらも成り立つが,A ≧ 0 , B ≧ 0 という仮定を用いなかったところにあります.
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この回答へのお礼

とてもよく分かりました~。詳しい回答、ありがとうございました!

お礼日時:2008/10/19 08:37

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