絶対値不等式を二乗して解く -絶対値のついた不等式を解くとき、両辺を- 数学

Q絶対値の二乗の思考過程　|x-y|^2

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2＝|x|^2+2|x||y|+|y|^2
１．|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
２．2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
３．よって...続きを読む

Aベストアンサー

場合分けの仕方がよくないですね。
単純に、「絶対値の中身が0以上か、0未満か」で分ければいいです。

(1)|x+y|^2について
0≦x+yのとき：
　|x+y|=x+yなので、|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x+y＜0のとき：
　|x+y|=-(x+y)なので、|x+y|^2={-(x+y)}^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2)|x-y|^2について
0≦x-yのとき：
　|x-y|=x-yなので、|x-y|^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
x-y＜0のとき：
　|x-y|=-(x-y)なので、|x-y|^2={-(x-y)}^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2

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Q数学Ι 絶対値を２つ含む不等式

度々すいません＾＾;
不等式｜ｘ＋１｜＋｜ｘ－２｜＜５はどうやって解くのでしょうか？
過去の質問で場合分けする、というのをみたんですけど良く分かりません。
絶対値が一つだったら分かるんですが…場合分け＾＾;
２個になるとどうとけば良いのでしょう？

Aベストアンサー

｜x+1｜と｜x-2｜を別々に考えます。

｜x+1｜は、
　x<-1のとき、-(x+1),
　x≧-1のとき、(x+1)

｜x-2｜は、
　x<2のとき、-(x-2)
　x≧2のとき、(x-2)

したがって、
(1) x<-1のとき
　｜x+1｜+｜x-2｜<5は、
　-(x+1)+{-(x-2)}<5
　 -x-1-x+2<5
　　　　　　　-2x<4
　　　　　　　　x>-2
　ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)

(2)-1≦x≦2のとき
　｜x+1｜+｜x-2｜<5は、
　(x+1)+{-(x-2)}<5
　　　　 x+1-x+2<5
　　　　　　　 3<5
　これは、常に成り...続きを読む

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Q２乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

２乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を２乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで２乗してもいいのかな？」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例）；２乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を２乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

ＯＫじゃ！ｘ実数⇒ｔ実数はよいが、その逆、ｔが実数→ｘ実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは！

ｘ実数⇔ｔ実数かつ（ｔは正または０）　　
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでＯＫ！

＜まとめ＞
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
１．分母を払うとき
２．等式、不等式の両辺を平方するとき
３．２つの等式、不等式を加減するとき
４．式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。２乗（平方）したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入（加減）も同じ。（もちろん、崩れない場合もある）解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入（加減）の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、７の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ－タａを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、ａとｘが伴って変わらくて、しかもａとｘを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、ｘについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにｓ－ｗｏｒｄさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

ＯＫじゃ！ｘ実数⇒ｔ実数はよいが、その逆、ｔが実数→ｘ実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは！

ｘ実数⇔ｔ実数かつ（ｔは正または０）　　
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでＯＫ！

＜まとめ＞
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
１．分母を払うとき
２．等式、不等式の両辺を平方するとき
３．２つの等式、不等...続きを読む

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Q実数に負の数と"0"は含まれる?

こんばんは。
初歩的な質問となるのですが、実数に負の数と"0"は含まれるのでしょうか?
お願いいたします。

Aベストアンサー

こんばんは。

こんな感じです。

Ａ　自然数：　１，２，３、・・・
Ｂ　ゼロ
Ｃ　ゼロ以上の整数（ゼロと自然数）：　０，１，２，３・・・
Ｄ　負の整数：　・・・、－３、－２、－１
Ｅ　整数　＝　Ｃ＋Ｄ
Ｆ　正の小数、負の小数　（終わりの桁が存在する小数）
Ｇ　有理数：　Ｅ＋Ｆ　＋　循環小数（分母と分子を整数とした分数で表すことができる数）
Ｈ　無理数：　√２、π、ｅ　など、循環小数ではない小数
Ｉ　実数：　Ｇ＋Ｈ
Ｊ　複素数：　実数ａ、ｂと虚数単位ｉを用いて　ａ＋ｂｉ　の形になる数
Ｋ　ベクトル
Ｌ　行列

というわけで、負の数とゼロは実数に含まれます。

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Ｅとは何ですか？

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Ｅとは何でしょうか？

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか？それとも講座などをうけたのでしょうか？

回帰分析でＲ２（決定係数）しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか？
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

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Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

単刀直入ですが，進研模試の対策をするために，進研模試の過去問を手に入れたいのですが，学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか？勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが，レベル的にも難しすぎず簡単すぎず，良いと言われたので，何回分かの進研模試を解いてみたいと思い，このような質問をするに至ったのです。ご回答，よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ...続きを読む

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Q定数って？実数・定数の使い分けって？

こちら現在高校生です。
学校で整数、有理数の定義などはやりました。
ですが、定数の定義・意味・特徴がわかりません。
自分の中では定数＝定まる数　つまりk:定数ならkは1個に定まるなどと勝手に考えています。このように、定数の性質・特徴たるものもわかりません。

あと、よく例題を見てみると「(k:定数)」や「(k:実数)」などと書いてありますがこの定数、実数の使い分けはどのようにするのでしょうか。

少々わかりづらい質問ですが、ご回答お願いします。

Aベストアンサー

「定数」は「どんな数でも良いがある値を持っていて"変化しない"数」です。
>「(k:定数)」
この場合ｋはどんな数でも良いが変化しない一定の値。
>「(k:実数)」
この場合、条件にｋは実数であって虚数を含まない(複素数でない)数で値は一定。

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Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは？

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか？
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか？

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を１つの大きな分子（巨大分子）とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね（＾＾；
確かにこの２つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Ｓｉ...続きを読む

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Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

＞以下の内容は．高等学校で教えているのでしょうか。
＞モル凝固点降下．モル沸点上昇．（気体の）分圧．浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合（分圧）で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素（分子量２８）が７８％、酸素（分子量３２）が２２％とするとこのとおり。
２８×０．７８　＋　３２×０．２２　＝　２８．８８（平均分子量）

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Q位置ベクトルについて

今ベクトルを勉強しているのですが、位置ベクトルの考え方がよくわかりません。
位置ベクトルというのは、点Ｏを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Ｏに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、
そうすると、
位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか？

位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

＞位置ベクトルというのは、点Ｏを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Ｏに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点Ａ(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、
→
ＯＡ＝（２，３）

ですよね。
また、線分ＭＮの中点Ｐの位置ベクトルは、
点Ｍ、点Ｎの位置ベクトルを、それぞれ
→　　　→
ＯＭ，　ＯＮ
とすると、
→　　　→　　　→　　　　
ＯＰ＝（ＯＭ＋ＯＮ）÷２

のようになりますよね。
その点Ｐの位置を、相対的に、原点を中心として表したときに
どうなるのだろうか？みたいな感じだと思ってください。

＞位置ベクトルで表されたベクトルは、その終点がベクトルを表す事になるので、終点だけを考えればよいから便利、ということでしょうか？

その点の位置関係を、相対的に表せる、ということで大変便利なのです。
原点Ｏを定めておくと、平面上の点Ａの位置は、
ベクトルＯＡによって、定まりますよね。
このとき、→　→
　　　　　a＝ＯＡを点Ａの位置ベクトルといい、
位置ベクトル→　　　　　　　　→
　　　　　　aの点を、たんに、点aと呼ぶこともあります。

＞位置ベクトルはけっこう大事だと思うので、位置ベクトルの考え方のポイントを教えていただけたらうれしいです。

位置ベクトルは、ベクトルの中でもかなり重要ポイントです。
考え方のポイントというか、コツは、図形の証明なんかでも
「とにかく位置ベクトルで考えてみよう！」
ということです。

たとえば、今まであたりまえのような定理として使ってきた
「三角形ＡＢＣの、底辺をＢＣとしたときに、
ＡＢ，ＡＣの中点Ｍ，Ｎを結ぶ線分ＭＮは、
底辺ＢＣに平行で、長さはＢＣの半分である」

などという定理も、位置ベクトルを用いれば、分かりやすく証明されます。
上の問題は、平行、かつ半分、を示せばよいので
→　　　　　→
ＭＮ＝(1/2)ＢＣ
がいえればよいですね。
三角形の３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルを、
→　→　→　　　　→　　→
a,　b,　cとして、ＭＮ、ＢＣを、それぞれで表してみましょう。

頑張ってください。慣れると大変便利でベクトルが得意になりますよ。
ご参考になればうれしいです。

stripeさん、こんばんは。
今はベクトルについて勉強されているんですね。

＞位置ベクトルというのは、点Ｏを基点に考えるので、ベクトルの始点を点Ｏに持っていって考える、ということと解釈しているのですが、

そうですね。
位置ベクトルというのは、その名のとおり、位置を表すベクトル、と考えていいでしょう。
たとえば、点Ａ(2,3)という点があったとして、それを表す位置ベクトルは、
→
ＯＡ＝（２，３）

ですよね。
また、線分ＭＮの中点Ｐの位置ベクトルは、
点Ｍ、点Ｎの位置ベクトルを...続きを読む

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