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絶対値を二つ含む不等式の質問です。
|X-3|<|2X+1|という問題です。

他の絶対値に関する質問を見てみましたが、絶対値が二つ含まれているのはなく、よく分かりませんでした。中身を+と-に分けてしようとしても、絶対値が両辺にあるのでうまくできませんでした。どのように解けはいいんでしょうか?

gooドクター

A 回答 (5件)

「絶対値が両辺にあるのでうまくできませんでした」では困りましたね。


で、質問は、絶対値の外し方だと思っていいんですよね。

その前に、#3さんがおっしゃられている

|A|<|B| ならば、A^2 < B^2 が成立。
なおかつ、A^2 < B^2 ならば |A|<|B|が成立
ということで、A^2 < B^2 は |A|<|B|の必要十分条件なので、|A|<|B|を解くのはA^2 < B^2 を解くのと同値。だから両辺を2乗して絶対値はそのまま外して良い。

というのもきちんと理解しておいたら良いでしょう。

絶対値の外し方と解き方ということで、#1(, #4)さんの回答に従って丁寧に解いてみると、

|x - 3| < |2x + 1|
で、
> x-3=0 になる x = 3
> 2x+1=0 になる x= -1/2
> から
> x<-1/2   ・・・ x - 3 <0 かつ 2x+1 < 0   (1)
> -1/2≦x<3  ・・・ x - 3 <0 かつ 2x+1 ≧ 0   (2)
> 3≦ x    ・・・ x - 3 ≧ 0 かつ 2x+1 ≧ 0   (3)
> の3パターンで場合分けします。

(1) x<-1/2 のとき x - 3 < 0, 2x + 1<0 なので、
|x - 3| < |2x + 1 | → - x + 3 < -2x - 1 を解いて、x < - 4
(絶対値を外した変域を考慮して)
x<-1/2 かつ x < - 4  →  x < -4   ・・・ (1)の解

(2) -1/2 ≦ x < 3 のとき、 x - 3 < 0, 2x + 1 ≧ 0 なので、
|x - 3| < |2x + 1 | → - x + 3 < 2x + 1 を解いて、2/3 < x
(絶対値を外した変域を考慮して)
-1/2 ≦ x < 3 かつ 2/3 < x → 2/3 < x < 3 ・・・ (2)の解

(3) 3 ≦ xのとき、 x - 3 ≧ 0, 2x + 1 ≧ 0 なので、
|x - 3| < |2x + 1 | → x - 3 < 2x + 1 を解いて、- 4 < x
(絶対値を外した変域を考慮して)
3 ≦ x かつ - 4 < x → 3 ≦ x     ・・・ (3)の解

(1)、(2)、(3)の解の和をとって、
x < -4 , 2/3 < x

こうやって解いてみると、やはり (x-3)^2 < (2x + 1)^2 を解く方がぜんぜん楽ですけどね、この問題の場合は。

場合分けをして絶対値を外した場合、その絶対値を外した変域でしか解が認められないことに注意。
慣れないとごちゃごちゃして分りにくいかもしれません。数直線や表を書いて、自分なりに分るように工夫してみるのが良いと思います。絶対値の問題は、慣れればちょっと面倒なだけで、難しいことはありません。
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この問題に関しては他の解き方もあるでしょうが,


|X-3|-|2X+1|<1
のような問題では場合分けしかありません。

3パターンに場合分けするときの手法は知っておいた方がいいでしょう。
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0≦|X-3|<|2X+1|ですから、両辺を2乗しても同値。


従って、(x-3)^2<(2x+1)^2ですから、(2x+1+x-3)*(2x+1-x+3)>0、即ち(3x-2)*(x+4)>0です。

絶対値≧0である事に注意!
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グラフを描いてみたら、いかがでしょうか。



y=左辺 のグラフとy=右辺 のグラフを描き、右辺が上側に来る部分のxの変域を求めればいいと思います。
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おっしゃる通り,絶対値がでてきたら場合分けです。



2つある場合は,
x-3=0 になる 3
2x+1=0 になる -1/2
から
x<-1/2 (1)
-1/2≦x<3 (2)
3≦x (3)
の3パターンで場合分けします。

すなわち,(1) なら,x-3, 2x+1 ともに負,
(2) なら 2x+1 は正,x-3 は負,
(3) ならともに正
として絶対値をはずしていきます。
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