数学Ⅰの一次関数について。

数学Ⅰの一次関数について。
絶対値記号を含む一次関数の値域の求め方で、「定義域の両端のf(X)の値を求めても値域になるとは限らない」とありますが、なぜですか？
問題は 関数f(x)＝|x-1|+2について、定義域が0≦x≦３のとき、値域を求めよ。
です。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/19 21:13

絶対値の付いた1次関数は、グラフに書くと 折れ線になるので、

定義域の両端が 極値になるとは限りません。
絶対値記号の中身が 正負で 場合分けしなければなりませんので、
複数の1次式を 考える事になります。
f(x)=|x-1|+2 では、
x-1≧0 のとき f(x)=x-1+2=x-1 で、
x-1<0 のとき f(x)=-(x-1)+2=-x+3 となります。
つまり 定義域が 0≦x≦3 でも、
1≦x≦3 と 0≦x<1 と 2つの別の式を考える事になります。

No.5 回答者： windwald 回答日時： 2023/08/15 17:04

>絶対値記号を含む一次関数の値域の求め方で、「定義域の両端のf(X)の値を求めても値域になるとは限らない」とありますが、なぜですか？

簡単な例を一つあげましょう。f(x)=|x| 定義域は -10≦x≦10 のとき
定義域の両端のf(x)の値を求めると f(-10)=|-10|＝10，f(10)=10
となりますが、値域は f(x)=10 のみではないことは x=0 のとき f(0)=0 となることから明らかですよね。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/15 13:17

f(x)=|x-1|+2 は

y=|x| とは原点で　傾き±1　(x>=0 ; +1 ,x<0 ; -1 )
をx軸方向に1移動して(1,0)で傾き±1　(x>=1;+1 ,x<1 ; -1)
をy軸に2移動したものである。つまり
頂点(1,2)で 傾き±1　(x>=1;+1 ,x<1 ; -1)したものだから
　(x>=1)のとき　f(x)=(x-1)+2=x-1+2=x+1
(x<1)のとき　f(x)= - (x-1)+2= -x+1+2= -x+3
実際に作図すれば　両端の他に頂点(1,2)の値も min の候補になるから
　max= x+1= 3+1=4　　　..............(x=3の時)
min= -x+3=-0+3=3 ではなく
　　　= x+1= -x+3=1+1=2 ...........(x=1の時)
絶対値記号は2次関数の頂点で対称的に折り曲げて1次関数にしたものだから
元々は2次関数と強引に考えてもいいでしょう！の
　えーと　セクハラ的に考えれば女性のバスト等を考えてください！
下向きの2次関数で下の頂点の位置がminになるよね！

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/15 09:46

実際にやってみれば分かるよ。

「論より証拠」ですから。

絶対値は「中身の正負」で場合分けて外すので

(a) x - 1 ≧ 0 のとき、つまり　1 ≦ x のとき
　f(x) = (x - 1) + 2 = x + 1　　　　①

(b) x - 1 ≦ 0 のとき、つまり　x ≦ 1 のとき
　f(x) = -(x - 1) + 2 = -x + 3　　　　②

定義域が 0≦x≦3 なので、f(x) はこの範囲内で上記２つに分かれることになる。
つまり

(i) 0≦x≦1 のとき、(b) より
　f(x) = -x + 3
で「単調減少」であり、この分割した定義域の端点では
　f(0) = 3
　f(1) = 2

(ii) 1≦x≦3 のとき、(a) より
　f(x) = x + 1
で「単調増加」であり、この分割した定義域の端点では
　f(1) = 2
　f(3) = 4

以上から、f(x) の域値は
　2 ≦ f(x) ≦ 4
となる。

この最小値 f(1) = 2 は、もともとの定義域 0≦x≦3 の端点（x=0, x=3）からは求められません。
そのことを言っているのだと思います。

No.2 回答者： つるさん2023 回答日時： 2023/08/15 06:53

完全に筆者のミスだよね。

筆者は、定義域が与えられても値域は１式で書き表せるとは限らない。
こう書きたかったんだろうね。

定義域　0≦Ｘ≦３ では
　０≦Ｘ≦１　にて　値域　２≦Ｙ≦３
１≦Ｘ≦３　にて　値域　０≦Ｙ≦２
となる。

こう書きたかったんでしょう。
今は、連立不等式を中学で扱わないから、Ｘの重なる部分で場合わけなんて習ってないとするよ〜という前提で書いちゃったんだね。

そうかな？　ってよく気がついたと思いますよね。

高校受験難関校過去問の模範解答から高校生以上の数学の模範解答では、なんだこの解答？って結構あります。

自分の方が正しいのでは？と感じたら学校の先生に聴いてみてください。

ガンバレ！！

No.1 回答者： goorev 回答日時： 2023/08/15 03:39

絶対値記号の意味、値域の意味、が分かれば分かるハズです