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コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
ことは何となく分かっているつもりです。

しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。
たとえば、よく教科書に掲載されている例として
開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N)  ※Nは自然数全体
で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。

でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば
それだけで有限被覆となると思います。
この矛盾はどこから来るのか分かりません。

どなたか、ご教授ねがいます。

A 回答 (3件)

>(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。



なりません.質問者はεδや無限に対する理解が
かなり怪しいのでしょう.

(-1,1)にならなくたって被覆です.
たとえば,εを-0.99999 にしましょう.
nをものすごーく大きくする,たとえば, n=100000にすると
n/(n+1)=0.999990000099...
となるので
(-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです.
(-1,1)に含まれるどんな数をもってきても
このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を
必ずとることができます
#ε=n/(n+1)をnについてといて
#それ以上の整数をとればよい.

したがって,{Xn}は(-1,1)の開被覆です.

しかし,どんなにがんばっても有限個で覆うことはできません.
有限個でとめたとしたら,
n/(n+1)は1にはなれないので,n/(n+1)と1の間の数が
こぼれてしまうのです.
こういうのを「稠密性」というのでした.

ちなみに
>コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である
>ことは何となく分かっているつもりです。
この理解は明らかな誤りですので
正しく理解しましょう.
有限と無限,有界はそれほどは関係しません.
ちなみに,コンパクトと有界閉集合は別の概念であり,
ある特定の条件において同値であるということも
理解しましょう.
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#1のものです。



(-1,1)の中の要素1-ε1 (0<ε<1)を考えます。
1-ε1がXnに含まれるためには
1-ε1<n/(n+1)
を満たせばよいことになります。
つまり、n>(1/ε1)-1 なるnをとればよい。
もし、nが全ての自然数を取れるのであれば、この不等式を満たすnはε1がどんなに小さくても必ず存在します。
つまり、"((-1,1)の中で)1"の近傍、どれだけ1に近い数でもXnで被覆することが可能です。

しかし、nの個数が有限であるとするとその中の最大の物をNとすると
ε2<1/(N+1)となるε2を持ってくると1-ε2はXnで覆うことができなくなります。つまり、有限のXnの組で被覆することはできません。
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>でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば


>それだけで有限被覆となると思います。

Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) でnを何にしても(-1,1)にすることはできません。
確かにn→∞の極限X∞は(-1,1)ですが、∞なる自然数が存在するわけではありません。Xnに最後なるものは存在せず、(-1,1)に近づきますが絶対に一致することはありません。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>Xnに最後なるものは存在せず、(-1,1)に近づきますが絶対に一致することはありません。

(-1,1)にならないということは、そもそもXnは(-1,1)の開被覆ではないということですか?
開集合とは、その要素に近傍が必ずあるのが定義ですから、
(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。

補足日時:2009/07/19 09:08
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