位相空間 X において, 点列 {xn} が x∞ に収束しているとき, 集合 {xn; n ∈ N

位相空間 X において, 点列 {xn} が x∞ に収束しているとき, 集合 {xn; n ∈ N} ∪ {x∞} はコンパクトであること を示しなさい.

この問題を教えてください。よろしくお願いします。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/17 20:52

任意のx∞の近傍Vに対して

ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
xn∈V
となるとき
点列{xn}がx∞に収束するという

{xn;n∈N}∪{x∞}⊂∪_{α∈Λ}V_α
を任意の開被覆とすると

x∞∈V_α0 となる開近傍V_α0がある

点列{xn}がx∞に収束するから
近傍V_α0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
xn∈V_α0
となるから
{xn;n>n_0}∪{x∞}⊂V_α0

n=1～n_0に対して
xn∈V_αn となる開近傍V_αnがあるから

{xn;1≦n≦n_0}⊂∪_{k=1～n_0}V_αk

↓これと{xn;n>n_0}∪{x∞}⊂V_α0　から

{xn;n∈N}∪{x∞}⊂∪_{k=0～n_0}V_αk

だから有限部分開被覆があるから

{xn;n∈N}∪{x∞}はコンパクト