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5^n/n!で、n→∞のときの極限を求めよ。

という問題で、解答には、この数列を書き出すと、
5/1・5/2・5/3・5/4・5/5・5/6・5/7・5/8…5/n(1)
となり、

n≧5のとき、5/n≦1となることから、
(1)の数列の5/5以降を5/5(=1)で置き換えてしまって、

5/1・5/2・5/3・5/4・1・1・1…5/n= 5^5/24n

としてから、ここで極限をとって、
n→∞のとき、5^n/n!→0
となっています。


ここで、質問ですが、
5/5以降をすべて5/5(=1)と置き換えてしまうような
奇抜な技を自分ならテスト中に絶対思いつかないと思うんです。
この問題は、暗記しておくと、テスト中に類題がでてきたとき気づいてくるものなのですか?
それとも、思いつくための法則みたいなものはあるんですか?
頭のいい人は、どうやって、この解答法に気づいてくるんですか?

よく先輩に聞くと「慣れだよ、慣れ」といってごまかされてしまってよくわかりません。
お願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

或る意味では慣れともいえるし、またある意味では当たり前に思いつくことでもあります。

次の事実は知っておくと極限の問題に非常に柔軟に対応できるようになると思うので、ぜひ記憶にとどめておいてください。

n→∞とするときに、無限大に発散する関数は非常にたくさんありますが、その収束のスピードには大きな違いがあります。
log(n)、n、n^2、n^3、n^4、…、e^n、…、n!、…
たとえば、log(n)→∞ですが、これはnよりもゆっくりと無限大に発散します。式でかけば、log(n)/n→0です。分母も分子も∞に行くけれども、分母の方が圧倒的に速く大きくなるので、比を取るとどんどん小さくなります。同じ理屈で、nよりもn^2の方が速く∞に行きます。ここあたりは簡単ですね。そしてどんなnのべき乗よりも、指数関数e^xの方がさらに圧倒的に速く∞に発散します。もちろん指数関数は底によって変わりますから、たとえば、2^n<e^n<3^n<…といった感じです。そしてさらに階乗n!はどんな底の指数関数よりもさらに速く∞に行きます。このことの直感的な意味は、指数関数というのは同じ数をかけ続けるだけだが、階乗はかける数自体がどんどん大きくなるから、ということです。

もう一度書いておくと、
対数関数<べき乗<指数関数<階乗
という順番で速く∞に発散します。

だからこの問題は0に収束する、ということが証明をする前にわかってしまうのです。もし頭のいい人とそうでない人というのに分かれるとするなら、きちんとした回答を書く前に、こういった予備考察(答えが何になるか直感的にわかる)の差ではないかと思います。それがあれば、あとはいかに0に収束させたらいいか、ということだけを考えればいいからです。

この問題だと、5項目で5/1・5/2・5/3・5/4・1となりますが、あとは分母の方がどんどん大きくなるので、この値よりどんどん小さくなります。逆に言うと、5項目以降はこれに1よりも小さい数をどんどんかけるだけです。当然値は小さくなっていきます。n項目に至っては、5/nという数をかけることになりますが、これはn→∞のとき、0に収束しますよね。5/1・5/2・5/3・5/4・1に1より小さいものを次々かけていって、最後に0に収束する5/nというものをかけるのだから、0に行く、という寸法です。ただ、何度も1未満の数をつぎつぎにかけていく、という表現は数学の答案としたらちょっと格好が悪い(別に答案として間違っているわけじゃない)から、そこでちょっと雑な評価をしてやろうというわけです。1より小さいものをかけるより、1をかけたほうが大きいに決まっている。だからその大きいやつを計算してやろう。大きくしたやつが0に収束するなら、もちろんそれより小さいものは0に収束する(はさみうちの原理)ってわけです。

慣れないうちはテクニカルに感じるかも知れませんが、これは非常に理に適った方法なのです。というのは具体的に極限が計算しやすいものに置き換えた方がいいに決まっています。そして大きいやつが0に収束すれば小さいほうも0に行く(繰り返しますが、はさみうちの原理)を使って終わらすわけです。

まあ極論すれば、先輩のおっしゃるように、慣れ、ですけどね。とにかくそういう背景も理解した上で、ぜひ慣れてください。
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これは「うまい」解答ですね。


私ならN!の発散スピードを評価する際はすぐに
N!=(N/e)^N(Nは十分大きい)を使いますね。
この証明は簡単です。(かなりいい加減に書きます。分からないところは補足するなり、先生に聞くなりしてください)
N!をそのまま評価しようとしても無限個の「積」を扱うのはなかなか難しいです。
しかし無限個の「和」であれば、積分によってある程度は収束・発散の様子が判定できます。
そこでN!の対数を取ってみると
Σ{1~N}log(n)となります。
これは大体∫{1~N}log(x)dx=N(log(N)-1)(Nが十分大きい)です。
つまりN!は大体(N/e)^Nです。
この事実(N!の発散スピードはN^Nぐらい)は知っておくべきです。
これを使えば証明は一発でしょう。(精密に書こうと思うと面倒そうですが)
もうちょっと精度を上げたい場合は「スターリングの公式」というのもありますが、こっちは証明がかなり面倒です。
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