No.6ベストアンサー
- 回答日時:
「全ての数列」に対する命題であることに注意するだけです。
明らかに自分で考えていないように見受けられます、追加で質問する場合は「考えてから」質問してね。
この回答への補足
考えているつもりだったのですが,考えが甘かったかもしれません。
申し訳ありませんでした。
ご叱咤の後,さらに考えをめぐらせてみると,以下のような回答にたどりつきました。
c>2として,a_n>e^(c^n)となるa_nの部分列を{a_n_i}とする。
このときb_n_i>√…√a_n_i>e^{(c/2)^(n_i)}
よってb_n_iは発散。
b_nは単調増加だから,b_nも発散する。
こちらの回答に問題点はありますか?
No.4
- 回答日時:
>> 初めからすべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失いません。
> とありますが,これは有限個のa_nを取り替えてもb_nの収束発散は不変だということを用いていると思います。
違います。
b_n が収束するなら、a_n の部分数列 a_{n_j} についての和も収束することを用いています。
これは単調増加で上に有界な数列は収束することから明らかです。
この回答への補足
たびたびすいません。
b_n が収束⇒a_n の部分数列についての和も収束
の成立は分かるのですが,これをどう用いれば
すべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失わない
となるのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
>「無限個ある」ということは,途中からずっとそういうものが続くということです。
他人の回答にちょっかい出すと削除されそうだけど、違います。
「ずっと続く」のではなく、どんなに先にいっても a_n > e^(c^n) なる n を見出すことができる。ということです。
例えば、偶数の n についてのみ a_n > e^(c^n) が成立しているような状況を考えましょう。
この問題の場合は、b_n が収束すれば、無限個ある a_n についてだけの和を考えても収束するので、初めからすべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失いません。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
だいぶ解答の全体像が見えてきました。
>初めからすべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失いません。
とありますが,これは有限個のa_nを取り替えてもb_nの収束発散は不変だということを用いていると思います。これはどのように示せば良いでしょうか。
No.1
- 回答日時:
まず,問題文を整理しましょう。
「無限個ある」ということは,途中からずっとそういうものが続くということです。つまり,
n>kならば,必ず(a_n)>e^(c^n)となっている
ようにkをとることができます。収束発散を考えるときは,最初のほうはどうでもいいので,k以降の(b_n)の動向を調べましょう。
列(b_n)は(a_n)の取り方によっては収束してしまいますが,
(a_n)がどんどん大きくなるものなら,発散させることができます。
だから,ルートをとってもb_nが文句なく大きくなっていく(発散する)ように,cを調節してみてください。
そうすれば,
「どんなc>2について,
a_n>e^(c^2)をみたすnが無限にあるのに,(b_n)の極限が存在する」
なんてことはない,
ということが証明できたことになりますから,
「c>2が存在して,a_n>e^(c^2)をみたすnが無限にあれば,(b_n)の極限は存在しない」
が証明できたことになります。
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