
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
#3です。先ほどの件本を調べました。少し違っていました。
a_n=1+1+1/2!×(1-1/n)+1/3!×(1-1/n)(1-2/n)+・・・・+
1/n!×(1-1/n)(1-2/n)・・・{1-(n-1)/n} ・・・(1)
次に同様にして (以下 ×を略す)
a_(n+1)=1+1+1/2!{1-1/(n+1)}+1/3!{1-1/(n+1)){1-2/(n+1)}
+・・・・+1/n!{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・{1-(n-1)/(n+1)}
+1/(n+1)!{1-1/(n+1)}{1-2/(n+1)}・・・{1-n/(n+1)} ・・・(2)
となります。
a_nとa_(n+1)を比較したとき、a_nの各項より、a_(n+1)の
各項の方が大きく、しかもa_(n+1)は1つ余分に正の項を持っている
◎ゆえに a_n <a_(n+1) となり、{a_n}は単調増加である。・・・(3)
次に先ほど
a_n≦1+1+1/2!+1/3!+・・・・1/n! ・・・(4)を示しました。
ここで n!=1・2・3・・・(n-2)(n-1)n≧1・2・2・・・・2・2・2=2^(n-1) ・・・(5)
を使うと
a_n≦1+1+1/2+1/(2^2)+・・・+1/(2^(n-1)
=1+{1-(1/2)^n}/(1-1/2)=1+2-(1/2)^(n-1)=3-(1/2)^(n-1) < 3
・・・(6)
◎これで「上に有界」がしめされた。
(3)と(6)により、
数列{a_n} ただし、 a_n=(1+1/n)^n は
上に有界な単調増加数列だから、実数の性質から収束し、
その値は2より大きく、3より小さい
すなわち lim[n→∞](1+1/n)^n は収束し、2と3の間の値であることが分かった。
以上
No.5
- 回答日時:
高校あたりでは、e = lim[n→∞] (1+1/n)^n が、e の定義だったと思います。
収束性はともかく、極限が e であることを「証明」するためには、
e に何か他の定義が必要ですね。 e = exp(1) では、どうでしょう。
y = exp(x) は、x = ∫[1≦t≦y] dt/t で定まる実関数と定義します。
log(y) = ∫[1≦t≦y] dt/t と書くことにすると、
lim[n→∞] (1+1/n)^n が収束するならば、
lim[n→∞] (1+1/n)^n = lim[n→∞] exp log (1+1/n)^n
= exp lim[n→∞] n log(1+1/n)
= exp lim[h→+0] (1/h) { log(1+h) - log(1) }
上記 log の定義より、lim[h→+0] (1/h) { log(1+h) - log(1) } = 1 です。
収束性は、先に証明しておく必要があります。
No.4
- 回答日時:
ANo.1 です。
証明の手順が逆でした。申し訳ないです。
1 以上の数 x に対して、自然数 n を n ≦ x < n + 1 となるようにすると、
1 + 1 / (n + 1) < 1 + 1 / x ≦ 1 + 1 / n
よって、( 1 + 1 / (n + 1) )^n < (1 + 1 / x)^x ≦ (1 + 1 / n)^(n + 1)
すなわち、
{ ( 1 + 1 / (n + 1) )^(n + 1) } / { 1 + 1 / (n + 1) } < (1 + 1 / x)^x ≦ { (1 + 1 / n)^n } { 1 + 1 / n }
ここで、x to +∞ とすると n to ∞
この両辺が e に近づく
No.3
- 回答日時:
こんばんは。
2項定理を使ってa_n=(1+1/n)^nが単調増加数列でかつ上に有界を示す方法だったはずです。展開して
a_n=1+1+n(n-1)/{(2・1)n^2}+n(n-1)(n-2)/{3・2・1)(n^3)+・・・
+n(n-1)(n-2)・・・(n-k+1)/{k{k-1)・・3・2・1}(n^k)+・・・
=1+1+(1-1/n)+(1-1/n)(1-2/n)/(2・1)+・・・
+(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)・・・{1-(k-1)/n}/{k{k-1)・・3・2・1}+・・・
+(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)・・・{1-(n-1)/n}/{{n-1)・・3・2・1}としておく。
(1) そしてこれから
a_n≦2+1/2!+1/3!+・・・+1/k!+・・・・+1/(n-1)!を示す。そして
1/2!=1/2・1≦1/2・2,以下2つ、4つ、8つ、16づつと分数をまとめて、
2の何乗の分数以下にして、等比級数でおさえて3より小さいことを
示すはずだったけど思い出せない。
(2)単調増加は
a_(n+1)がa_nより項が一つ多いことをうまく利用してやったはず。
また、調べてきます。
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