極限の問題で質問です。 lim[x->+0] x*(e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1) こ

極限の問題で質問です。

lim[x->+0] x*(e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1)

これは0に収束するそうなのですが、どう示せばよいかが分かりません。

ご教授お願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/07 10:58

ロピタルでもよいですが自明です。

　(e^u-1)/(e^u+1)=(1-e^(-u))/(1+e^-(u)) → 1

この回答へのお礼

なるほど、理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/07/07 12:03

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/07 10:06

積の極限：

二つの収束する極限
lim[有る条件] f(x)=a, lim[左と同じ条件] g(x)=b
があるなら、
lim[有る条件] f(x)g(x)=ab
を使う。

lim[x→+0]e^(1/x) →∞
だから
lim[x→+0](e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1) = 1
はわかるよね？

分母と分子をe^(1/x)で割って
lim[x→+0](1-e^(-1/x))/(1+e^(-1/x)) = 1
の方が分かりやすいかも。

lim[x->+0] x*(e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1)
＝(lim[x→+0] x )(lim[x->+0] (e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1))
= 0 × 1 = 0

この回答へのお礼

積の極限について理解できていませんでした。
分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2023/07/07 12:04

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/07 09:30

u=1/x とおくと、u → ∞ で、与式は

　{(e^u-1)/(e^u+1)}/u → 1/u → 0

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

1式目から2式目への式変形が分からないのですが、

{(e^u-1)/(e^u+1)}

の部分がロピタルの定理より1に収束するから、

{(e^u-1)/(e^u+1)}/u → 1/u

ということでしょうか？

お礼日時：2023/07/07 09:36