数列の極限の問題についてです。 0<a<1のとき、lim(n→∞)1/nlog2(a^2n + a^

数列の極限の問題についてです。
0<a<1のとき、lim(n→∞)1/nlog2(a^2n + a^3n)を求めよ。
(「n分の1かけるログ2の(aの2n乗+aの3n乗)」の極限です。)

1/nがあるから、×0となって、答えは0？と思ったのですが、答えは2log2a(ログ2のa)でした。

どうして0にならないのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/17 19:37

lim[n→∞] log_2( a^2 n + a^3 n) = ∞ だから、

lim[n→∞] 1/n = 0 であっても
lim[n→∞] (1/n) log_2( a^2 n + a^3 n) = 0 とは言えません。
0×∞型の不定形ってやつで、うまく式変形して
0 の小ささと ∞ の大きさを比較しないと、値は出ない。

lim[n→∞] (1/n) n^2 = lim[n→∞] n = ∞ と
lim[n→∞] (1/n) √n = lim[n→∞] 1/√n = 0 を見比べて、
このふたつのどこが違うのか、少し考えてみましょう。

この回答へのお礼

分かったかもしれません！「0に収束する」ものを「0」そのもののように勘違いしていたんだと思います。
回答ありがとうございます！

お礼日時：2022/12/17 20:55

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/17 17:08

例えばだけど

lim(n→∞) n×1/n
でも「1/nがあるから、×0となって、答えは0？」と思いますか?

この回答へのお礼

た、確かに。自分が陥っている状況が分かりました。確かに違いますね。
回答ありがとうございます！

お礼日時：2022/12/17 20:41

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/17 17:08

0<a<1のとき

lim_{n→∞}(1/n)log_{2}(a^{2n}+a^{3n})
=lim_{n→∞}(1/n)log_{2}(a^{2n}+a^{3n})-2log_{2}a+2log_{2}a
=lim_{n→∞}(1/n){log_{2}(a^{2n}+a^{3n})-2nlog_{2}a}+2log_{2}a
=lim_{n→∞}(1/n){log_{2}(a^{2n}+a^{3n})-log_{2}a^(2n)}+2log_{2}a
=lim_{n→∞}(1/n)log_{2}{(a^{2n}+a^{3n})/a^(2n)}+2log_{2}a
=lim_{n→∞}(1/n)log_{2}{1+(a^n)}+2log_{2}a

↓lim_{n→∞}(1/n)log_{2}{1+(a^n)}=0だから

=2log_{2}a

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。丁寧な式変形で分かりやすいです！

お礼日時：2022/12/17 20:33