高校数学 極限 lim［n→∞］|1+i/n|^n を求める問題（iは虚数単位、nは自然数）で、 i

高校数学　極限

lim［n→∞］|1+i/n|^n
を求める問題（iは虚数単位、nは自然数）で、

i/n=t とおくと n→∞のときt→0 である事と、n=i/t より
（与式）=lim［t→0］|1+t|^（i/t）
　　　　=lim［t→0］｛|1+t|^（1/t）｝^i
　　　　=e^i •••（答）

だと考えました。
しかし、模範解答の答えは e^0=1
でした。上の解き方のどこが間違った変形等をしてしまっているのでしょうか？間違っている部分と、なんでダメなのかを教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• | は絶対値記号です。

    補足日時：2023/02/13 12:24

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/13 14:01

(1+z/n)^n → e^z

であるが
　|1+z/n|^n → e^z
は証明されていない。

なお
　(1+1/n)ⁿ<3
だから
　1<|1+i/n|^n=(1+1/n²)ⁿ/²={(1+1/n²)^(n²)}¹/²ⁿ <3¹/²ⁿ
　　=(√3)¹/ⁿ → 1

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/13 14:24

iは虚数だけれども

|1+i/n|は正の実数です虚数にはなりません

|1+i/n|^n は正の実数です虚数にはなりません

i/t=nは自然数です虚数にはなりません

|1+t|^(i/t) は正の実数です虚数にはなりません

{|1+t|^(1/t)}^i は正の実数です虚数にはなりません

|1+t|^(1/t)　は虚数で
e は実数で

lim[t→0}|1+t|^(1/t)≠e=lim[t→0}(1+t)^(1/t)

lim[t→0}{|1+t|^(1/t)}^iは正の実数です虚数にはなりません
e^i=cos(1)+isin(1) は 虚数
∴
lim[t→0}{|1+t|^(1/t)}^i≠e^i

lim[n→∞]|1+i/n|^n
=lim[n→∞]|(1+i/n)^n|
=lim[t→0]|(1+t)^(i/t)|
=lim[t→0}|{(1+t)^(1/t)}^i|
=lim[t→0}|e^i|
=|cos1+isin1|
=√{(cos1)^2+(sin1)^2}
=1