制御工学についてです。 1巡伝達関数Lが L＝k/(s＋1)(s＋2)(s＋3) である。kをゲイン

制御工学についてです。
1巡伝達関数Lが
L＝k/(s＋1)(s＋2)(s＋3)
である。kをゲイン余裕が20dBになるように定めたとき時、定常位置偏差を求めよという問題です。 私はjωを代入して有理化した後、位相交差周波数を求めるために実軸と交わる条件の虚部が0とし周波数を求めました。次に位相余裕の考え方0-20log|L(jω)|からKを導出し、lim(s→0)s×1/1+L×1/sで定常位置偏差が出るものだと思っていたのですがうまくいきません。途中式を含め解答を教えてもらえないでしょうか

質問者からの補足コメント

• いややはり大丈夫です。
  位相余裕の計算で
  0-20loglL(jω)＝20
  の後の計算で
  マイナスがあるため、L(jω)＝1/100なのに100としてしまってて計算ミスでした

    補足日時：2023/01/31 11:09

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/31 13:00

kを求める話だったんだ。

位相交差周波数　ωp は L(s=jωp)の虚数成分がゼロになる周波数だから
(s＋1)(s＋2)(s＋3) の虚数成分もゼロになる。

(s＋1)(s＋2)(s＋3)=s^3 + 6s^2 + 11s + 6 だから
s^3 + 11s = 0 で s = jωp でωp > 0 だから ωp = √11

これを 代入して
(s＋1)(s＋2)(s＋3) = -60
|L(s=jωp)|=k/60

ゲイン余裕は 20 dBだから
k/60 = 1/10 → k=6

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/31 10:27

何の定常偏差か書いてないけど、単位ステップ応答の定常偏差ですよね？

一巡伝達関数は
L(s)=k/{(s＋1)(s＋2)(s＋3)}
だよね？
Feedbackの関数は 1 とします。

単位ステップ入力を R(s) = 1/s
伝達関数G(s) = L(s)/{1+L(s)}
誤差量 E(s) = R(s) - G(s)R(S) = R(s)・1/{1+L(s)}

定常偏差は誤差量のラプラス逆変換の極 (s = 0)の成分なので
＃他の極成分は系が安定なら減衰してゼロになる
明らかに一位の留数なので
lim[s⇒0]sE(s)e^(0t) = lim[s⇒0]1/[1 + k/{(s＋1)(s＋2)(s＋3)}]
= 1/(1+k/6)

ゲイン余裕を大きくとると、偏差が大きくなるのがよくわかります。

この回答へのお礼

最後の式の部分は前問で導出できたのですが、そのkは対してゲイン余裕が20dBになるように定めたものを使うということだと思うのですが、20dBのときのkはどうすればよいか迷ってます
ちなみに定常位置偏差は0.5なのでk＝6となるはずなのですがその6が出てきません

お礼日時：2023/01/31 10:57