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例えば、
0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、
その計算途中で、
(-1+ai)/(i+a^2)*[exp{(-1-ai)x}](0→∞)となるところがあります。

ここで気になったのが、[ ]内のxに∞を代入したときです。
「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、
何か納得がいきません。
考えなくても良いとは??
そもそも虚数の正負とは??

もちろん、[ ]内が(-1)になると、答えも合います。

このようなとき、「i」をどう見ればよいのでしょう。
虚数がどうしてもはっきりと分からないのです。

どなたか御教授願います。

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exp 意味」に関するQ&A: expの意味

A 回答 (3件)

>0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、



これがまず書き間違いでしょうね
∫exp(-1-ai)x dx
でしょう.
見にくいので A=-(1+ai)と書きますと
これの原始関数は
(1/A)exp(Ax)ですのでつじつまがあいます.
また,0->∞の積分範囲ですが
「∞を代入する」というのが間違いです
これは
0 -> t の範囲で考えて値を出してから
t->∞の極限をとるという意味です.

本質は
exp(Ax)だけで,なおかつ x=0 を代入すれば 1 なので
結局は
exp(Ax) で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))

ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

とまあ,こういうわけです.

>「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、
というのは,
exp(-x) x (絶対値が1の複素数)
という形になるので0になるという意味です.

とりあえず,複素数の基本事項を
とくに極形式とか複素平面のことをしっかり勉強しましょう.
この手の積分の計算(大抵は留数定理のあたりに出てくる)とかは,
極形式などを熟知していることが前提の話です.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なるほど。exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))で|cos(ax) - i sin(ax)| = 1、何よりこれを考えられなかったことが原因ですね。助かりました。

お礼日時:2007/01/07 21:51

exp{(-1-ai)x} は


 絶対値=1/exp(x)
 偏角=-ax
の複素数ですね。
(x→∞) とすると、絶対値は0 に収束、偏角は不定、というのではありませんか?
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∫exp(-1-ai)dx のexp(-1-ai)は、定数ですから、


∫exp(-1-ai)dx = exp(-1-ai)∫dx となるためではないでしょうか?

この回答への補足

すいません。問題を写し間違えました。×∫exp(-1-ai)dx →○∫exp{(-1-ai)x}dxです。

補足日時:2007/01/07 20:36
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複素数での極限と絶対値

他人の質問への便乗で大変申し訳ないのですが、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2649820.html
でのNo2さんの良回答からの引用で質問です。


回答中の

exp(Ax)で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.(A=-(1+ai)とおいていたので)
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

という部分で、


=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
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回答中の

exp(Ax)で x->∞としたときだけが問題になります.
さて,xは実数だということを忘れないように.(A=-(1+ai)とおいていたので)
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))
ここで,|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって,
exp(Ax) -> 0 (x->∞)
...続きを読む

Aベストアンサー

> 絶対値でないものを絶対値で考えられる理由がわからず困っています。

もともと、lim[x→+∞] exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) を求めたい訳です。
lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) | = 0 であることが言えれば、
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lim[x→+∞] | exp(-x) (cos(ax) - i sin(ax)) |
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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

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A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
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=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
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まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

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となります。

つまり、
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
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参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html