オンライン健康相談、gooドクター

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

gooドクター

A 回答 (3件)

それはδ関数になります。

普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)
    • good
    • 5

書き漏らしましたので追記です。



δ関数は、高さ∞、巾0、面積1の関数で、
ここで上げたsinc(kx)以外にもいろいろな関数の極限で表現できます。
より正確には関数ではなく超関数と呼ばれるものですが、
一般的な用途では関数と同列に扱われています。

デルタ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94%E9%96%A2%E6% …
フーリエ変換>フーリエ変換表 No.23
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

デルタ関数ですか!
前に勉強したことがあるのですが、デルタ関数という響きだけ覚えています。
教科書引っ張り出してもう一度勉強します!
ありがとうございました!!

お礼日時:2009/12/24 17:33

 exp(ikx) は次のように実部と虚部に分けることができます。



  exp(ikx)=cos(kx) + i sin(kx)

 cos(kx) や sin(kx) を -∞~+∞で積分するとどうなると思いますか。

 k=0のとき cos(kx)=1 や sin(kx)=0 での積分になりますので、積分値は +∞+i0 となります。

 k≠0のとき cos(kx)もsin(kx)も 振幅1で振動を続けますので、積分値は不定になります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

やはり、そうですよね。
ありがとうございました!!

お礼日時:2009/12/24 17:00

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

gooドクター

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング