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【問題】周期2πにおいて

f(x)=|sinx| のフーリエ展開
のやり方や回答を教えてください。

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

sin(x)は周期2πの奇関数ですが


f(x)=|sin(x)| は周期πの偶関数です。

従って
>【問題】周期2πにおいて
は周期2πではなく、周期(基本)周期TはT=πと考えられます。

なのでf(x)は基本周期T=πでフーリエ級数展開

f(x)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox) + Σ(n=1,∞) b[n]sin(nwox)
(ただし wo=2π/T=2。展開係数の[ ]は下付き添字を表す。)

と展開できます。質問のf(x)が偶関数なので

 b[n]=0 (n,1,2, ... )
 f(t)=a[0]/2 +Σ(n=1,∞)a[n]cos(nwox)

と展開されます。展開係数は

 a[0]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|dx=(4/π)∫(0,π/2) sin(x)dx=4/π
 a[n]=(2/T)∫(-T/2,T/2) |sin(x)|cos(nwox)dx
   =(4/π)∫(0,π/2) sin(x)cos(2nx)dx
   =(2/π)∫(0,π/2) {sin((2n+1)x)-sin((2n-1)x)}dx
   =-4/{π(4n^2-1)} (n=1,2, ... )

となります。
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