Oを頂点とする座標平面上に 角BAC=π/2 の直角二等辺三角形ABCがあり、AB=AC=√2である。また、点Aは第1象限、点Bは第2象限、点Cは第4象限にあり、線分BCの中点はOである。さらに、直線ACとx軸との交点をDとし、角AOD=θ(0<θ<π/2)とする。
(1)角ODAをθを用いて表せ。また、 sin角ODAを sinθ、cosθを用いて表せ。
(2)線分ADの長さを sinθ、cosθを用いて表せ。
(3)線分ABとy軸との交点をEとし、△ADEの面積をSとする。S=1/6となるようなθの値を求めよ。
解説お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂角を二等分します。
よって∠OAD=π/4∠ODA=2π-∠OAD-∠AOD
=π-π/4-θ
=3π/4-θ
sin∠ODA=sin(3π/4-θ)
=sin3π/4cosθ-cos3π/4sinθ
=(cosθ+sinθ)/√2
cos∠ODA=cos(3π/4-θ)
=cos3π/4cosθ+sin3π/4sinθ
=(-cosθ+sinθ)/√2
(2)Aからx軸に垂直に下ろした垂線の足をHとすると、
AH=AOsin∠AODであり、
AH=ADsin∠ODAでもあります。
よって、
AOsin∠AOD=ADsin∠ODA
1×sinθ=AD×(cosθ+sinθ)/√2
AD=√2・sinθ/(cosθ+sinθ)
(3)△ADE=S=AD×AE×1/2なので、AEを求めます。
∠AOE=φとすると、(1)、(2)と同様に考えて、
AE=√2・sinφ/(cosφ+sinφ)となります。
φ=π/2-θより、
AE=√2・sin(π/2-θ)/(cos(π/2-θ)+sin(π/2-θ))
=√2・cosθ/(sinθ+cosθ)
よって、
S=√2・sinθ/(cosθ+sinθ)×√2・cosθ/(sinθ+cosθ)×1/2
=2sinθcosθ/((sinθ+cosθ)^2)×1/2
=sin2θ/((sinθ)^2+2sinθcosθ+(cosθ)^2)×1/2
=sin2θ/(1+sin2θ)×1/2
S=1/6より
sin2θ/(1+sin2θ)×1/2=1/6
sin2θ/(1+sin2θ)=1/3
sin2θ=(1+sin2θ)×1/3
3sin2θ=1+sin2θ
2sin2θ=1
sin2θ=1/2
0<θ<π/2より、0<2θ<πなので、
2θ=π/6,5π/6
多分こんな感じ
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A 3 2023/02/12 21:03
- 数学 数学の問題の解き方を教えて下さい。 ∠Aが直角の直角三角形ABCで、∠Bの二等分線と辺ACとの交点を 7 2022/05/06 21:52
- 数学 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利 1 2022/08/04 17:31
- 数学 角が同じならsinは同じになるのでしょうか 1 2022/09/06 00:12
- 数学 複素数の問題です。ご教授お願い致します。 3点が与えられており、それぞれ、 A=2 B=-1-i C 2 2023/07/11 21:59
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 数学 ちょっと質問です。 三角形を適当に書いて上から左回りABCと三角形を作るとして、辺ABの中点をEとし 4 2022/07/24 04:05
- 数学 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、B をAB=6となるようにとる。また、 5 2023/08/16 23:32
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
日本数学オリンピック2000年予...
-
数学の関数極限の問題を教えて...
-
cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるの...
-
数学
-
なんで4分の7πではなく −4分のπ...
-
正弦波の「長さ」
-
sinθ―√3cosθ=a(θ+α)の形にした...
-
【至急】数llの三角関数の合成...
-
f(x)=|sinx| のフーリエ展開が...
-
絶対値つきの定積分の問題
-
0≦x<2πの範囲で関数y=-√3sin...
-
2変数関数の極限値を求める問...
-
積分 1/sin^3x 問題
-
三角方程式です よろしくお願...
-
x=√2cosθ y=√2sinθと置き、解く...
-
解答の途中式です。 √3sin2x−co...
-
数Ⅲ 複素数平面について質問で...
-
0≦θ≦2πのとき、sin2θ+cosθ=0の...
-
回転行列の問題です。
-
数II 1の三乗根のうち、虚数で...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の関数極限の問題を教えて...
-
0≦θ≦2πのとき、sin2θ+cosθ=0の...
-
sinθ―√3cosθ=a(θ+α)の形にした...
-
f(x)=|sinx| のフーリエ展開が...
-
三角関数の「1/3倍角の公式...
-
日本数学オリンピック2000年予...
-
ベクトル場の面積分に関してです
-
積分 1/sin^3x 問題
-
なんで4分の7πではなく −4分のπ...
-
cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるの...
-
sin(π+x)は、-sinx になりますか?
-
高1 数学II三角関数
-
lim[x→0]tanx=xとなる理由は?
-
x^2=i
-
渦巻きの数式を教えてください...
-
【至急】数llの三角関数の合成...
-
ベクトル解析の面積分
-
正弦波の「長さ」
-
離散フーリエ変換(DFT)の実数...
-
arctan(y/x)でxとyを極座標で...
おすすめ情報