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点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、B をAB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A、Bとは異なる点Cをとる。

sin∠ACBを求める際

三角形ABCを直角三角形と仮定して求められるのはなぜですか?

まだ全ての辺の長さの値が出ていない場合

直角三角形として仮定できるってことですかね?

質問者からの補足コメント

  • No.2の回答者様へ

    申し訳ございません。お礼の誤字についてですが

    「こと問題」ではなく「この問題」です

      補足日時:2023/08/17 01:20

A 回答 (5件)

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>ということで、この問題においては直角三角形を作って答えても問題ないということですかね?

「問題ない」という消極的なものではなく、「積極的にそれを利用して解いている」ということなのでしょう。

#1さんのように「正弦定理」を使うのもよし、「sin」の理解が浅ければ「直角三角形の三角比 + 円周角の定理」を使うのもよし、ということで。
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図の通り

「点Oを中心とし、半径が5である円Oがある」の回答画像5
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三角形ABCを直角三角形と仮定して求められるのはなぜですか?


 それは sin∠ACB と正接を求めるから つまり
孤ABに対する円周角は円周上の点ならばどこでも同じなので
だったら まだ全ての辺の長さの値が出ていなくても
正接を求めるだけなので 三角形ABCを直角三角形と仮定して求めたのが
一番求めやすいからだけです。よって
AC=2・半径=2・5=10 で∠ABC=90° (タレスの定理)だから
sin∠ACB=AB/AC=6/10=3/5

正弦定理だって
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R/(sin90°)
と同じ内容です。定理の本質を理解していたら きっと疑問もわかなかったでしょう!
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>三角形ABCを直角三角形と仮定して求められるのはなぜですか?



AC または BC が「直径」でなければ「直角三角形」にはなりません。

何故なら、円に内接する三角形が直角三角形になるには、3辺のうち1辺が「直径」にならないといけないから。
AB = 6 ということは、AB は直径ではありませんから、残りの AC または BC が「直径」にならないと「直角三角形」にはなりません。

お示しの場合には、「弧AB に対する円周角はすべて等しい」ということを利用して、△ABC が直角三角形という特別な場合(AC または BC が「直径」の場合)で∠ACBを求めて、それを任意の C に対して成り立つといっているのでは?

ただし、Cが「A と B の間」にあるときには成り立ちません。
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この回答へのお礼

回答感謝です。

つまり「円周角の定理」を利用し計算しやすいように直角三角形を作った。ということで

こと問題においては直角三角形を作って答えても問題ないということですかね?

お礼日時:2023/08/17 01:19

正弦定理を使うと


  AB/(sin∠ACB)=2R
R=5, AB=6だから
  sin∠ACB=3/5
と解くのが普通だと思います。

この問題でABCがほんとうに直角三角形になるかどうかは、私は確かめていません。が、この種の問題でABCが一般的に直角三角形にはならないとは思います。
R=5、AB=7で同じ問題を作ることは可能だと思います。そして、AB=6のときの三角形が本当に直角三角形なのだとしたら、AB=7のときの三角形は直角三角形にはならないだろうと思います。
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