正八角形で・・・・

正八角形の３つの頂点を結んで出来る三角形のうち、直角三角形で無いものはいくつあるかという問題の解き方が分かりません。どなたか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： rethourgia 回答日時： 2007/11/29 23:29

こんばんは

正八角形の頂点のうち３つの頂点を結んで直角三角形でない三角形をいくつ作れるかについて、２つの解法を書きますね。

１．正八角形の頂点のうち３つの頂点を結んでできる全ての三角形の数から、そのうちの直角三角形の数を差し引く方法

正八角形の頂点のうち３つの頂点を結んでできる全ての三角形の数は、
８Ｃ３ ＝ ８！ ÷ （３！ × ５！） ＝ ５６　・・・(1)
ですね。

次に、直角三角形の数を求めるわけですが、次のように考えてください。
・直角三角形となる三角形は、元の正八角形の中心を通る対角線を一辺とした三角形であり、逆に、正八角形の中心を通る対角線を一辺とした三角形は直角三角形である。
・元の正八角形の中心を通る対角線１本につき、直角三角形は６個作れる。
・元の正八角形の中心を通る対角線は、４本ある。
これから、直角三角形の数は、
６ × ４ ＝ ２４　・・・(2)
です。

(1)と(2)から、正八角形の頂点のうち３つの頂点を結んで直角三角形でない三角形の数は、

５６ － ２４ ＝３２（個）
となります。



２．直角三角形とならないように、１頂点ずつ選んでゆく方法

まず、正八角形の頂点から、最初の頂点を選びます。最初なので条件はなく、
８通り
選ぶことができます。

次に、２番目の頂点を選びます。このとき、最初に選んだ１頂点を選ぶことはできず、また、その正反対にある１頂点を選ぶと直角三角形になってしまうので、選べるのは
６通り
となります。

最後に、３番目の頂点を選びます。このとき、これまでに選んだ2頂点を選ぶことはできず、それらの正反対にある２頂点を選ぶと直角三角形になってしまうので、選べるのは
４通り
となります。

したがって、三角形の頂点の選び方は、順番を考慮した上では
８ × ６ × ４ ＝ １９２通り
となります。

しかしこれは、頂点の選ばれた順番を考慮してしまっているので、１つの三角形にについて３！通り数えていることになります。そのため、正八角形の頂点のうち３つの頂点を結んで直角三角形でない三角形の数は、
１９２ ÷ ３！ ＝ ３２（個）
となります。

この回答へのお礼

とても分かりやすい解説ありがとうございます。どちらの解答もとても参考になりました。長い文章お疲れ様です！

お礼日時：2007/11/30 00:26

No.6 回答者： ILOVMIKI39 回答日時： 2007/11/28 15:12

＞何種類ということではありません。

それならあってますよね？

どちらにしても私の勘違いですね(^^;
ご迷惑お掛けし申し訳ございませんでした。
５６個の三角形が総数となります。
私の間違った回答に対してここにお詫び申し上げます。

この回答へのお礼

とんでもありません。回答してくださるだけでも十分助かります。
５６個も分かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/30 00:24

No.5 回答者： ILOVMIKI39 回答日時： 2007/11/27 23:39

失礼しました。

合同の三角形は１つとして見るのですね？形としては合同でも位置が違えば別の三角形だと認識しておりました。

例えば「正八角形の３つの頂点を結んで出来る三角形はいくつありますか？」の問いに形が同じでも１つとはみませんよね？

「直角三角形で無いものはいくつあるか？」は直角三角形で無い三角形は何種類あるか？って事？

この回答への補足

自分の拙い質問の仕方で誤解を招いてしまい本当に申し訳ありません・・・。何種類ということではありません。それならあってますよね？

補足日時：2007/11/27 23:54

No.4 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/11/27 21:13

> 三角形が全部で５６個、直角三角形が２４であってますか？

あってます。

総数は、8C3　でいいでしょう。
直角三角形については、正８角形の外接円を考えてもらえれば、すぐ分かります。
直角三角形があったとすると、直角に対する辺は必ず円の直径になるはずですね。
したがって、直径（辺）の選び方が４通り、それぞれの直径（辺）に対する角が６通り、で４×６＝２４

こんな感じでは？

この回答へのお礼

とても分かりやすいご回答ありがとうございます。やはり円周角を利用するんですね！答えがあっててほっとしました。

お礼日時：2007/11/27 23:59

No.3 回答者： ILOVMIKI39 回答日時： 2007/11/27 21:08

ヒントを１つ

正八角形の頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈとすると、
頂点を結んで出来る三角形の数とは８個のアルファベットの内アルファベット３個の組み合わせの総数と同じになります。
三角形が全部で５６個は少な過ぎませんか？

この回答への補足

その場合、同じ形の三角形を区別することになりませんか？正八角形の各頂点には区別が無いものとして、５６個といったのですが・・・。誤解を招くような質問の仕方ですいません。

補足日時：2007/11/27 21:14

No.2 回答者： tarame 回答日時： 2007/11/27 17:53

頂点が３個あれば、三角形が１個できます。

正八角形には頂点が８個あります。
三角形は、８個の中から３個を選ぶ場合の数だけあります。
その中から、直角三角形を除きます。
直角三角形は、工夫して数えましょう。

この回答への補足

三角形が全部で５６個、直角三角形が２４であってますか？

補足日時：2007/11/27 18:01

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2007/11/28 00:00

No.1 回答者： kizuki135 回答日時： 2007/11/27 17:11

実際に正八角形を書いて、線を引いて、数えてみてください。

通常の解き方としては、上の通り頭の中でのイメージとして数えます。

この回答への補足

さっき数えたら３２個だったのですが、どうも自信がありません。

補足日時：2007/11/27 17:17

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。もう一度自分で数え上げてみます。

お礼日時：2007/11/27 23:57