0≦ｘ＜2πの範囲で関数ｙ=-√3sin ｘ-cosｘの 最大値と最小値を求めよ。 という問題を教え

0≦ｘ＜2πの範囲で関数ｙ=-√3sin ｘ-cosｘの
最大値と最小値を求めよ。

という問題を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/27 05:24

三角関数の合成公式

asinθ+bcosθ=√(a²+b²)sin(θ+α)
ただし、cosα=a/√(a²+b²) , sinα=b/√(a²+b²)

y=- √3sin x - cos x
=2sin{x+(7/6)π}
0≦ｘ＜2π より、(7/6)π≦ x+(7/6)π ＜(19/6)π

最大値２
x+(7/6)π=(5/2)π のとき
つまり、
x=(8/6)π=(4/3)π のとき

最小値 - 2
x+(7/6)π=(3/2)π のとき
つまり、
x=(2/6)π=(1/3)π のとき

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/27 10:05

この手の問題は「加法定理」を使って１つの三角関数にまとめるのが定石です。

ちょっと技巧的ですが、やり方を一度納得できれば、あとは機械的に適用すればよいです。

y = -(√3)sin(x) - cos(x)
　= 2{-[(√3)/2]sin(x) - (1/2)cos(x)}　　←√(a^2 + b^2) でくくる
　= 2{cos[(7/6)パイ]*sin(x) + sin[(7/6)パイ]*cos(x)}
　= 2sin[x + (7/6)パイ]　　　　←「加法定理」を使う

0≦x<2パイ なら
　(7/6)パイ ≦ x + (7/6)パイ < (19/6)パイ
なので、この範囲で最大、最小になるのは
・最大：x + (7/6)パイ = (5/2)パイ つまり x=(4/3)パイのとき、最大値 2
・最小：x + (7/6)パイ = (3/2)パイ つまり x=(1/3)パイのとき、最小値 -2


最初の式変形は

y = -(√3)sin(x) - cos(x)
　= -2{[(√3)/2]sin(x) + (1/2)cos(x)}
　= -2{cos[(1/6)パイ]*sin(x) + sin[(1/6)パイ]*cos(x)}
　= -2sin[x + (1/6)パイ]

でも

y = -(√3)sin(x) - cos(x)
　= 2{[-(√3)/2]sin(x) - (1/2)cos(x)}
　= 2{sin[(4/3)パイ]*sin(x) + cos[(4/3)パイ]*cos(x)}
　= 2cos[x - (4/3)パイ]

でもよいです。「最大」「最小」の位置を間違えなければ。

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2020/11/27 05:15

何処で躓いたんですか？