この問題が全然わかりません！ わかる方いたらおしえてほしいです

この問題が全然わかりません！
わかる方いたらおしえてほしいです

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/10 18:03

No.2です。

やはり計算間違いをしていたかな？　(2)を全面的に訂正します。

(2) 解と係数との関係から
　α + β = 2(cosθ - √3 sinθ)
　αβ = 6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1

ここで
　α^2 + β^2 = ( α + β )^2 - 2αβ
なので
　α^2 + β^2 = 4(cosθ - √3 sinθ)^2 - 2(6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1)
= 4cos^2θ - 8√3 sinθcosθ + 12sin^2θ - 12sin^2θ + 4√3 sinθcosθ + 2
= 4cos^2θ - 4√3 sinθcosθ + 2
= 4cos^2θ - 2 - 4√3 sinθcosθ + 4　　　　　←ここで正負が違っていた
= 2cos(2θ) - 2√3 sin(2θ) + 4
= 4[ (1/2)cos(2θ) - (√3 /2)sin(2θ) ] + 4
= 4[ sin(パイ/6)cos(2θ) - cos(パイ/6)sin(2θ) ] + 4
= 4sin(パイ/6 - 2θ) + 4
= 4[ 1 - sin(2θ - パイ/6) ]　　　　(a)

しかも、θ の範囲は 0≦θ<パイ ではなく、(1) の結果の
　0≦θ≦(1/4)パイ、 (3/4)パイ≦θ<パイ
を使うということですね。
ということで、
　0≦2θ≦(1/2)パイ、 (3/2)パイ≦2θ<2パイ
→　- パイ/6 ≦ 2θ - パイ/6 ≦ (1/3)パイ
　　(4/3)パイ ≦2θ - パイ/6 < (11/6)パイ

この範囲で、(a) の最大・最小は
・最大となるのは 2θ - パイ/6 = (3/2)パイ つまり θ = (5/6)パイ のときで、最大値は 8
・最小となるのは 2θ - パイ/6 = (1/3)パイ つまり θ = (1/4)パイ のときで、最小値は
　　4(1 - √3 /2) = 4 - 2√3
かな。

No.5 回答者： やじろん 回答日時： 2017/11/09 01:10

x-cosθ+√3sinθが実数ってことと

xは実数ってことは同値だょ。。。
だからこれをXと置いちゃってもぃぃんだょ。。。
煩雑な計算は避けてね★ミつぎも
-cosθ+なんたらをa
4sにじょーうんたらをbと置いたら
簡単だよ♡

No.4 回答者： 理科きらい 回答日時： 2017/11/09 00:21

数学の天才いませんか？質問があります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/08 23:00

No.2です。

最後のところが変でした。最後の3行は

0≦θ<パイ つまり パイ/6≦パイ/6 + 2θ<(2 + 1/6)パイ では
・最大となるのは パイ/6 + 2θ = パイ/2 つまり θ = パイ/6 のときで、最大値は 8
・最小となるのは パイ/6 + 2θ = (3/2)パイ つまり θ = (2/3)パイ のときで、最小値は 0

計算間違いしているかもしれないので、途中の変形はご自分でやってみてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/08 22:54

①式は、x の二次方程式として書けば

　x^2 + 2(-cosθ + √3 sinθ)x + (-cosθ + √3 sinθ)^2 + 4sin^2θ - 2 = 0
→　x^2 + 2(-cosθ + √3 sinθ)x + cos^2θ - 2√3 sinθcosθ + 3sin^2θ + 4sin^2θ - 2 = 0
→　x^2 + 2(-cosθ + √3 sinθ)x + 6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1 = 0　　　　　②

(1) 二次関数が実数解をもつ条件が分かりませんか？　「判別式」を知らないのですか？
　基本のキが分かっていないのですね。致命傷ですよ、それは。

②式より、判別式は
　D = 4(-cosθ + √3 sinθ)^2 - 4(6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1)
　　= 4(cos^2θ - 2√3 sinθcosθ + 3sin^2θ) - 4(6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1)
　　= 4(1 - 2√3 sinθcosθ + 2sin^2θ) - 4(6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1)
　　= 8(1 - 2sin^2θ)
　　= 8cos(2θ)

実数解をもつためには
　D = 8cos(2θ) ≧ 0
→　cos(2θ) ≧ 0
0≦θ<パイ つまり 0≦2θ<2パイ でこれが成り立つのは
　0≦2θ≦(1/2)パイ、(3/2)パイ≦2θ<2パイ
よって
　0≦θ≦(1/4)パイ、 (3/4)パイ≦θ<パイ

(2) 解と係数との関係から
　α + β = 2(cosθ - √3 sinθ)
　αβ = 6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1

ここで
　α^2 + β^2 = ( α + β )^2 - 2αβ
なので
　α^2 + β^2 = 4(cosθ - √3 sinθ)^2 - 2(6sin^2θ - 2√3 sinθcosθ - 1)
= 4cos^2θ - 8√3 sinθcosθ + 12sin^2θ - 12sin^2θ + 4√3 sinθcosθ + 2
= 4cos^2θ - 4√3 sinθcosθ + 2
= 4cos^2θ - 2 + 4√3 sinθcosθ + 4
= 2cos(2θ) + 2√3 sin(2θ) + 4
= 4[ (1/2)cos(2θ) + (√3 /2)sin(2θ) ] + 4
= 4[ sin(パイ/6)cos(2θ) + cos(パイ/6)sin(2θ) ] + 4
= 4sin(パイ/6 + 2θ) + 4

0≦θ<パイ つまり パイ/6≦パイ/6 + 2θ<(2 + 1/6)パイ では
・最大となるのは パイ/6 + 2θ = パイ/2 つまり θ = パイ/6 のときで、最大値は 8
・最小となるのは パイ/6 + 2θ = (3/2)パイ つまり θ = (2/3パイ/6 のときで、最小値は 0

No.1 回答者： Arima01 回答日時： 2017/11/08 21:22

(x-cosθ+√3sinθ)²+4sin²θ-2=0...①（0≦θ<π）

(1)f(x)=(x-cosθ+√3sinθ)²+4sin²θ-2とする。
　 このグラフは下に凸で、頂点は(cosθ-√3sinθ,4sin²θ-2)
　 これが実数解を持つには、x軸と共有点を持てば良い。
　 つまり(4sin²θ-2≦0)であることが必要十分条件。
　 (sin²θ≦1/2)と(0≦θ<π)より(0≦θ≦π/4,3π/4≦θ<π)

(2)(x-cosθ+√3sinθ)²+4sin²θ-2=0
　 ⇔x²+cos²θ+3sin²θ-2xcosθ-2√3sinθcosθ+2√3xsinθ+4sin²θ-2=0
　 ⇔x²+2x(-cosθ+√3sinθ)+(6sin²θ-2√3sinθcosθ-1)=0
　 ⇔x=(cosθ-√3sinθ)±√{(-cosθ+√3sinθ)²-(6sin²θ-2√3sinθcosθ-1)}
　 ⇔x=(cosθ-√3sinθ)±√(cos²θ-3sin²θ+1)
　 α<βとすると
　 α²+β²=2cos²θ+1-2√3sinθcosθ
　　　　 =cos2θ-√3sin2θ+2
　　　　 =2sin(2θ+5π/6)+2
　 θ=π/6で最小値1、θ=5π/6で最大値4

自信は全くありませんので、計算は自分で確かめてください、すみません
方針は上記の通りです。