微分の問題(最大値)

半径５の球に内接する直円柱のうちで体積の最も大きい場合の底面の半径、高さ、及びその時の体積を求めてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/19 14:52

直円柱の底面の半径を x(0＜x＜5) とすると、半径５の球に内接する直円柱の高さhは

三平方の定理より
(h/2)^2 + x^2 = 5^2
h=2(25-x^2)^(1/2)
円柱の体積 V(x)
V(x) = πx^2*h = 2πx^2*(25 -x^2)^(1/2)
V'(x) = 2πx^2*(25 -x^2)^(1/2)
=-6πx(x^2-(50/3))/√(25-x^2)
V'(x)=0とする x(0<x<5) は x=5√(2/3)
0＜x＜5の範囲で増減表を描いてください。
増減表より
x=5√(2/3)のとき最大値V(5√(2/3))=500π√3/9
が求まります。

No.5 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/09/19 17:02

底面の半径=5cosθ

高さ=2*5sinθ=10sinθ
体積=π*(5cosθ)^2*10sinθ=250πcos^2θsinθ
f(θ)=cos^2θsinθとして0＜θ＜π/2の範囲で
f(θ)の最大値を求めると、
f(θ)=(1-sin^2θ)sinθ=(1-sinθ)(1+sinθ)sinθから
f(θ)は0＜sinθ＜1で極大となる。そのときのθは
f'(θ)=cosθ-3sin^2θcosθ=cosθ-3(1-cos^2θ)cosθ
=cosθ(-2+3cos^2θ)から、cosθ=√(2/3)
sinθ=√(1-2/3)=√(1/3)
以上から、
底面の半径=5cosθ=5√(2/3)・・・答え
体積=250π(2/3)√(1/3)=(500√3/9)π・・・答え

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/19 16:14

微分？　これは、数I でしょ。

円柱の底面の半径、高さ、体積を x,h,V と置くと、
x^2 + (h/2)^2 = 5^2,
V = (πx^2)h.

相加相乗平均の関係を使って、V^2 の最大値を求めてみる。
V^2 = { (πx^2)h }^2
= (π^2)(x^4)(h^2)
= (16π^2)(x^2/2)(x^2/2)(h^2/4)
≦ (16π^2){ ((x^2/2)+(x^2/2)+(h^2/4))/3 }^3　　←相加相乗平均の関係
= (16π^2){ (5^2)/3 }^3
等号成立は、x^2/2 = x^2/2 = h^2/4 のとき。
すなわち h = (√2)x のときで、このとき、上式より
x = 5√(2/3),
h = 10/√3),
V = ((500√3)/9)π.

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/09/19 15:16

同じ微分を使うにしても、頭を使おう。

円柱の体積 V(x) = πx^2*h = 2π*x^2*(25 -x^2)^(1/2)　と、ここまでは良い。
x＞0から　V(x) = 2π*{25x^4 -x^6} ^(1/2)
x^2＝αとすると　0＜α＜25だから　この範囲で、25x^4 -x^6　→　25α＾2－α＾3　の最大値を求めると良い。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/19 15:15

#1です。

A#1のV(x),V'(x)のグラフを添付します。