数学の関数極限の問題を教えてください。 lim x→∞ (1＋2/x)^x の答えがe^2(x=2t

数学の関数極限の問題を教えてください。
lim x→∞ (1＋2/x)^x の答えがe^2(x=2tとおく)とかいてありますがどういうことでしょうか？

質問者からの補足コメント

• lim x→1 √3x^2+1 -2x/x-1も教えて欲しいです。ルートは3x^2+1までです。

    補足日時：2020/10/15 14:14

No.5 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/15 23:24

途中の符号を間違えていたので、一部訂正。

（答えは変わらない）

=lim[φ→0] (√3 - sinφ - √3cosφ)/2sinφ ←ここまでは同じ
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)(1-cosφ)/sinφ
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2){(1-cosφ)(1+cosφ)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2){(1-(cosφ)^2)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)(sinφ)^2/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 + (√3/2)sinφ/(1+cosφ)
=-1/2

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/15 23:20

指数法則で、a^(b×c)=(a^b)^c=(a^c)^bというのがある。

これを利用して、変数置換を行う。

t=x/2とすると、x→∞はt→∞になる。

lim[x→∞](1 + 2/x)^x
=lim[x→∞](1 + 2/x)^(x/2 × 2)
=lim[x→∞]((1 + 2/x)^(x/2))^2
=lim[t→∞]((1 + 1/t)^t)^2
=e^2

lim x→1 √3x^2+1 -2x/x-1については、
lim[x→1] √(3x^2 + 1) - 2x/(x-1)であれば、発散する。
lim[x→1] (√(3x^2 + 1) - 2x)/(x-1)であれば、収束する。
（かなり手間だけどね）

x=(1/√3)tanθとすると、x→1はθ→π/3となる。

lim[x→1] (√(3x^2 + 1) - 2x)/(x-1)
=lim[θ→π/3] (√((tanθ)^2 + 1) - (2√3)tanθ)/((1/√3)tanθ - 1)
=lim[θ→π/3] (1/cosθ - (2√3)(sinθ/cosθ))/((1/√3)(sinθ/cosθ) - 1)
=lim[θ→π/3] (1-(2√3)sinθ)/((1/√3)sinθ-cosθ)
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/(sinθ-√3cosθ)
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2((1/2)sinθ-(√3/2)cosθ)
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2(sinθcos(π/3)-cosθsin(π/3))
=lim[θ→π/3] (√3-2sinθ)/2sin(θ-(π/3))

φ=θ-(π/3)とすると、θ→π/3はφ→0となる。

=lim[φ→0] (√3 - 2sin(φ+(π/3))/2sinφ
=lim[φ→0] (√3 - 2sinφcos(π/3) - 2cosφsin(π/3))/2sinφ
=lim[φ→0] (√3 - sinφ - √3cosφ)/2sinφ
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)(1-cosφ)/sinφ
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2){(1-cosφ)(1+cosφ)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2){(1-(cosφ)^2)/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)(sinφ)^2/sinφ(1+cosφ)}
=lim[φ→0] -1/2 - (√3/2)sinφ/(1+cosφ)
=-1/2

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/10/15 16:57

lim x→1 √(3x^2+1) -2x/(x-1)

x<1から１になった時
lim x→1 ２ ＋∞＝＋∞
x>1から１になった時
lim x→1 ２ -∞＝-∞

この回答へのお礼

答えを見ると-1/2となってるんですがどうしてでしょう？

お礼日時：2020/10/15 17:44

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/15 13:18

x=2tとおいて、eの定義を利用します

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/10/15 13:18

lim x→∞ (1＋2/x)^x、x=2tとおくと

lim t→∞ (1＋1/t)^2t=lim t→∞[ (1＋1/t)^t]^2
lim t→∞[ (1＋1/t)^t]=eだから
lim t→∞[ (1＋1/t)^t]^2＝e^2

また、lim x→∞ (1＋３/x)^x、x=３tとおくと答えがe^3
lim x→∞ (1＋e/x)^x、x=etとおくと答えがe^e