固有値問題

固有値の証明問題をやっています。
7割くらいは解けたのですが、以下の問題がわかりません。

(1)λ1,λ2,...,λnがAの特性方程式の解であれば、
　|A|=λ1λ2...λnであることを示せ

(2)Aをn次の複素正方行列、A^*をAの共役転置行列とするとき、
　A^*とAの積の固有値が正、または0であることを示せ

(3)3次の直交行列は1またはー1を固有値に持つことを示せ

以上のような3つの問題があります。
どの問題も、イマイチ証明の筋道が見えてきません。
ヒントでもかまいませんので、どなたかよろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/06/02 13:24

簡単に (単位行列を I とする):

(1) A の特性方程式は det(A - xI) = 0 と書け, その解λ1, ..., λn が固有値 ⇒解と係数の関係を考える.
(2) A^*A の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおくと A^*A x = λ x ⇒左から x^* を掛ける.
(3) M^T M = M M^T = I を満たす M が直交行列. M の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおいて x^T M^T M x を考える.

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/06/02 13:24

簡単に (単位行列を I とする):

(1) A の特性方程式は det(A - xI) = 0 と書け, その解λ1, ..., λn が固有値 ⇒解と係数の関係を考える.
(2) A^*A の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおくと A^*A x = λ x ⇒左から x^* を掛ける.
(3) M^T M = M M^T = I を満たす M が直交行列. M の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおいて x^T M^T M x を考える.

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/06/02 13:24

簡単に (単位行列を I とする):

(1) A の特性方程式は det(A - xI) = 0 と書け, その解λ1, ..., λn が固有値 ⇒解と係数の関係を考える.
(2) A^*A の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおくと A^*A x = λ x ⇒左から x^* を掛ける.
(3) M^T M = M M^T = I を満たす M が直交行列. M の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおいて x^T M^T M x を考える.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/06/02 13:24

簡単に (単位行列を I とする):

(1) A の特性方程式は det(A - xI) = 0 と書け, その解λ1, ..., λn が固有値 ⇒解と係数の関係を考える.
(2) A^*A の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおくと A^*A x = λ x ⇒左から x^* を掛ける.
(3) M^T M = M M^T = I を満たす M が直交行列. M の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおいて x^T M^T M x を考える.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/06/02 13:23

簡単に (単位行列を I とする):

(1) A の特性方程式は det(A - xI) = 0 と書け, その解λ1, ..., λn が固有値 ⇒解と係数の関係を考える.
(2) A^*A の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおくと A^*A x = λ x ⇒左から x^* を掛ける.
(3) M^T M = M M^T = I を満たす M が直交行列. M の固有値をλ, 対応する固有ベクトルを x とおいて x^T M^T M x を考える.

No.1 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/06/02 01:12

(1)

λ1,λ2,...,λnがAの特性方程式の解とすると
Qを(1,1)、(2,2)、…、(n,n)成分がλ1,λ2,...,λn、その他の成分を0となるような行列(要するに対角の成分が、λ1,λ2,...,λnとなるような対角行列)とします。
P^(-1)AP=Qとなるような正則行列Pが存在します。
したがって
|A|=|P^(-1)AP|=|Q|=λ1λ2...λn