行列(I-βG)の逆行列が存在することの証明について

Gは、n×n の実対称行列で各成分は非負とします。
β∈(-1 , 1) で、I は単位行列。
この時、行列 (I - βG) が逆行列を持つ必要十分条件は、βGのスペクトル半径 ( βG の絶対値固有値で最大のもの) が1未満かつ、Gの全ての固有値が相異なる。

この証明を教えていただけると嬉しいです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/23 08:42

たとえば

　　G = I
の場合、「Gは、n×n の実対称行列で各成分は非負」だが「Gの全ての固有値が相異なる」という条件を満たさない。
　で、(I - βG)には、
　　(I - βG)^(-1) = ((1 - β)I)^(-1) = (1/(1-β)) I^(-1) = (1/(1-β)) I
という逆行列が存在する。
　これは「この時、…」という命題の反例でしょ。