二次形式

二次形式 F(x) = txAx が正値（半正値）であるための必要十分条件は、二次形式 F(x) の行列 A の固有値が全て正値（半正値）であることである．
この主張を示せ

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/20 14:36

与えられた二次形式を

行列を使って(xの転置)Axの形に書く方法はひととおりではない。
その中から通常は、Aが対称行列になるものを選ぶ。
実対称行列の固有値は実数であり、
とある直交行列Pを用いて(Pの転置)APと対角化できる。
u=(Pの転置)xと置けば、(xの転置)Ax=Σ(Aの固有値)(uの成分の二乗)
と書けるから、二次形式が半正値である条件は
Aの固有値がどれも非負であることである。

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2022/12/19 19:06

A は対称だろうねぇ。

ならそれを対角化すれば証明は簡単では？

この回答へのお礼

どうすればいいですか？

お礼日時：2022/12/19 20:50

No.1 回答者： そとこけ 回答日時： 2022/12/19 16:29

すみませんわかりません