2次方程式の「(x-3)^2=4」を解くとき、 そのまま解くことも可能ですが A=x-3と置いて、A

2次方程式の「(x-3)^2=4」を解くとき、
そのまま解くことも可能ですが　A=x-3と置いて、A^2=4 というシンプルな式に直すという手法がありますよね。
このとき、Aの変域について検討しないのは何故ですか？

A^2=4と(x-3)^2=4 は同値とは言えないと思うので
A=x-3 と置き換えたことは示すわけですが、
このAについて変域を調べる必要はないのでしょうか？
また、何故調べなくていいのでしょうか？

複雑な関数の問題で、一旦その複雑な部分をtとおく、そのときは解法がありますが、そのときは必ずtの変域を調べますよね。

これは、その式変形が同値変形であることを示すために必要だと習ったのですが、
中学生のときに習った既述の2次方程式において、そのような変域について調べた経験はありません。

2次方程式のときにAの変域を調べないのは何故ですか？
シンプルに方程式だからいらないとかですか？
それとも、変域の情報がなくても、同値変形となっていることは自明だからとかでしょうか？
（でも、それだと「 t=」の式も自明と言えば自明な気がします…）

わかりづらい質問となってしまい申し訳ございません。
数学が苦手なので、ぜひお手柔らかにご回答のほど
よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/28 21:16

x-3 を A と表すだけですから 何の吟味も必要ありません。

置換微分などで t と置く場合は、t に条件が付きますよね。
この場合は 何の条件も無く 只置き換えるだけです。
それが証拠に 後になって そのまま元に戻しますよね。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/01/27 21:53

方程式が同値であって、未知数に条件が付いて無いので調べる必要が有りません。

数学で言う「同値」の定義は以下です。
命題p、qが有って、p⇔qが真ならば、p,qは同値。

質問の場合。
A=x-3と言う前提条件下では

{A²=4　⇔　(x-3)²=4}は真です。なので、
A²=4　と　(x-3)²=4は同値命題です。

単に方程式(x-3)²=4について未知数xの値を求めるだけです。

(x-3)が正方形の1辺の長さであるなら、(x-3)>0と言う条件が付くだけです。


一方で、「x²+y²=1の円とy=x²の放物線との交点を求めよ」と言う問題が有った場合。

x²=yをx²+y²=1に代入するとy²+y-1=0となり、これを解くと
y=(-1±√5)/2となりyが2個求まります。
が、(-1-√5)/2は交点座標にはなりません。

何故、こういう事が起こるのかと言うと
「x²+y²=1とy=x²の連立方程式」と、y²+y-1=0が同値では無いからです。
x²+y²=1からはy≦1と言う条件があるのに、y²+y-1=0では、その条件が抜けてしまってるからです。

なので、同値で無い場合には、変域と言うか未知数の条件を意識する必要があります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/27 18:49

実数 x と実数 x-3 が一対一に対応することは

あまりにも自明だからじゃないですか？
それを「自明」と言うことに不安を感じるなら、
A なんて名前をつけずに (x-3)^2 = 4 から
直接 (x-3) = ±2 としてはどうでしょう？