2005年度東大文系の入試問題

0以上の実数s,tがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、
方程式 X^4ー2(s+t)X^2+(s-t)^2=0
の解のとる値の範囲を求めよ。

これは東大の2005年度の文系の入試問題ですが
解答をみてもわかりません。どなたか詳しく教えてください。

No.5 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/29 21:14

＃４です。

＞わかりません。もっとやさしくお願いします。

これで分からないということは、単にコーシー・シュワルツの不等式を知らない、ということでしょう？

それならば、コーシー・シュワルツの不等式を勉強して下さい。基本の知識ですから。
（どんな参考書にものっていますし、先生に聞けば教えてくれます）

その上で、コーシー・シュワルツを使わない方法を希望されるのであれば、また書きます。

或いは、他に分からない箇所があるのならば、そこを具体的に聞くこと。

丸投げ質問の上に、丸投げ欲求では、困りますよ。

No.4 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/11/22 16:31

模範解答はどんな解答だったんでしょうねえ。

気になりますが。
解の「範囲」を求めよ、ということは、きっと実数解に限っているのでしょうね。

僕のは＃３に近いかな。
まず普通に X^2 について解いて、
X^2＝ s + t ± 2√(st)
＝(√s ± √t)^2
よって、X＝±｜√s ± √t｜　（４通り）　・・・(1)

｜√ｓ－√ｔ｜の最大値は、０≦ s,t ≦１より、ｓ＝１,ｔ＝０またはｓ＝０,ｔ＝１のときで、１
最小値は s＝t＝1/√2 のときで、０
よって｜√ｓ－√ｔ｜は、０以上１以下の値をとる。　　・・・(2)

次に√ｓ＋√ｔは、コーシー・シュワルツの不等式より
(√s + √t)^2＝(1・√s + 1・√t)^2 ≦ (1^2 + 1^2)( s + t )＝２( s + t )
再度コーシー・シュワルツの不等式より、
( s + t )^2≦(1^2 + 1^2)(s^2 + t^2)＝２　（ s^2 + t^2=１より）
二つをあわせて、
(√s + √t)^4≦４( s + t )^2≦８
よって、√ｓ＋√ｔ≦8^(1/4)＝2^(3/4)　　（等号成立はs＝t＝1/√2のとき）
また、s＝１,t＝０やs＝０,t＝１ のとき、√ｓ＋√ｔ＝１より、√ｓ＋√ｔは少なくとも１以上の値をとる。

よって、(2)とから、｜√ｓ±√ｔ｜は、０以上 2^(3/4) 以下の値をとる。
（＋の方も－の方も、それぞれｓやｔの連続関数だから、途中の値はすべてとる）
よって(1)より、求める範囲は－2^(3/4) ≦Ｘ≦ 2^(3/4)

コーシー・シュワルツを使うのが僕には簡単でした。（＃３さんはもっと簡単に出していてびっくりですが。あらま。）
兎に角、√cosθ±√sinθのとりうる値に帰着するので、理系ならば微分して増減を調べれば一発です。

この回答への補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。

補足日時：2007/11/28 13:33

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2007/11/22 12:08

s^2+t^2=1から

s=cosθ,t=sinθ (0≦θ≦π/2)
として単純に変形しても解けると思います。

X^4-2(cosθ+sinθ)X^2+(cosθ-sinθ)^2=0
X^2=cosθ+sinθ±√(4sinθcosθ)=√2sin(θ+π/4)±√（2sin2θ）

θ=π/4のとき
sin(θ+π/4)=1,sin2θ=1なので明らかに
X^2の最大値は2√2、最小値は0
また、θ=0のとき、
√2sin(θ+π/4)+√(2sin2θ)=√2sin(θ+π/4)-√(2sin2θ)=1
よって、X^2は0以上2√2以下のいずれの値もとることが可能。以上から
0≦X^2≦2√2
-8^(1/4)≦X≦8^(1/4)

もっともこの方法は最大値を求める際、θ=π/4でどちらのsinも最大値に
なるため、容易に記述できますが、ずれる場合は面倒な計算が必要に
なる可能性があります。

No.2 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/11/21 13:03

対称式が与えられているので、s+t＝k　st＝m　と二つ式を立てればいいのですが、この問題は　(s-t)^2＝2(s^2＋t^2)－(s+t)^2　ですから、(s-t)^2＝2－(s+t)^2　となり、st　のほうは考えなくて良いので（「東大の情け」ですかね）、 s+t　の値の範囲を調べます。

s^2+t^2=1　がs-t平面上で、円の方程式を表すのは知っていますね？
0以上の実数s,t　という条件から、円の右上1/4（端も含む）を表しています。直線 s+t=k が、その円弧に接触するように動くとすると、1≦k≦√2　であるとわかります（これは、教科書の例題レベルです）。

X^4－2(s+t)X^2+(s-t)^2=0　は、X^4－2kX^2+2-k^2=0　（ただし1≦k≦√2）ということになります。

ここで、あるｋに対して実数Xが存在しているという関係を逆に考えると、Xからkへの対応も存在するはずですね。
だから求めるXの範囲に属するXに対しては、1≦k≦√2を満足するｋが（一つとは限りませんが）見つかるはずですよね？
よって、これをｋについての2次方程式とみなして、Xが実数の時、これが1≦k≦√2で実数解をもつ条件を考えることにします。

解きにくいので、k^2＋2kX^2－2－X^4=0　となおして、
f(k)＝k^2＋2kX^2－2－X^4　とおいて、y=f(k)が、1≦k≦√2　でｋ軸と一回以上交わる条件を考えます。

y=f(k)の頂点は、（-X^2、-2X^4-2）　
Xは実数より　X^2≧0　なので、頂点は、y軸上の負の領域か　または、第３象限にある。
よって、y=f(k)が、1≦k≦√2　でｋ軸と一回以上交差するには、
f(1)≦0、かつf(√2)≧0　であればよいので、-X^4+2X^2-1≦0（１）　かつ　2√2X^2－X^4≧0（２）　であればよい。

あとはできますね？（計算は自分で確認を）

=========
No.1のような方法でもいけるとは思いますが、放物線の頂点（のm座標）の存在範囲を出すことになります（値域ではありません）。文字が多いので、実際は困難だと思われます（やってみたわけではありませんが．．．）。
なお、「s＋t＝m、st＝n（0≦m≦1、0≦n≦1、m＾2-4n≧0）と置くと」の　「0≦m≦1、0≦n≦1」　は良くありません。例えばs=t=√2/2　とすると、m=√2　となり、反例が容易に見つかります。また、n=1　のとき、対応すべき実数s,tは存在しません。

この回答への補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。

補足日時：2007/11/28 13:34

No.1 回答者： take_5 回答日時： 2007/11/21 11:21

そんなに難しくないだろう。

方針を示すから、計算は自分でやって欲しい。

s^2+t^2=1からs＋t＝m、st＝n（0≦m≦1、0≦n≦1、m＾2-4n≧0）と置くと、m＾2-2n＝1‥‥(1)
X^4ー2(s+t)X^2+(s-t)^2＝x＾4-2mx＾2＋m＾2-4n＝0‥‥(2)
(1)は（0≦m≦1、0≦n≦1、m＾2-4n≧0）という条件付きの放物線‥‥(3)。(2)は4n＝（m－x＾2）＾2‥‥(4)になりやはり放物線。(3)の範囲で(4)の放物線の値域を考えると良い。

或いは、s^2+t^2=1からs＝cocθ、t＝sinθ（0≦θ≦π/2）として、考えても良い。

この回答への補足

わかりません。もっとやさしくお願いします。

補足日時：2007/11/28 13:31