1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHの辺EFの中点をMとする。△AMCの面積Sを求めよ。

1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHの辺EFの中点をMとする。△AMCの面積Sを求めよ。

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/21 21:00

AC=√(1^2+1^2)=√2

AM=√(1^2+0.5^2)=√(1+0.5^2)=(√5)/2
MC=√(FC^2+FM^2)
=√(√2)^2+0.5^2)=√(2+0.5^2)=√(2+1/4)=√(9/4)=3/2
ヘロンの公式より
S=(1/4)√ 2｛√2^2・(√5 /2)^2+√2^2・(3/2)^2+(√5 /2)^2・(3/2)^2 ｝ー｛√2^4+(√5 /2)^4+(3/2)^2｝
=(1/4)√｛√2^2+(√5 /2)^2+(3/2)^2｝^2 ー2｛√2^4+(√5 /2)^4+(3/2)^4｝
=(1/4)√ ［｛2+5/2^2+(3/2)^2｝^2ー2(4+25/16 +81/16)］
=(1/4)√［｛(8+5+9)/4｝^2ー2(64+25+81)/16 ］
=(1/4)√｛22^2/16ー2(170)/16｝
=(1/4)√｛(484ー340)/16｝
=(1/4)√(144/16)
=12/16
=3/4

尚 外積の計算で、k(1・0.5) は ーk(1,0.5) に訂正します。(-1,1,- 0.5)は合っています！
内積でも外積でもヘロン公式でも同じ結果！

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/21 19:52

外積禁止の場合は

AM、MC、CAの長さをピタブラスの定理で求めて、
ヘロンの公式の放り込むのかな。

ちょっとやりかけたけど、挫折しました(^^;
めんどくさすぎる。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/21 19:45

E(0,0,0,)とすると

A(0,0,1) ,C(1,1,1) ,M(0.5,0,0)
→AC=CーA=(1,1,1)
→AM=MーA=(0.5,0,0)ー(0,0,1)=(0.5,0,ー1)

→AC 外積→AM =i(1・(-1) ) ーj(1・(-1)) ,k(1・0.5)=(-1,1,ー0.5)

よって、面積は、
(1/2)√→ACの絶対値^2・→AMの絶対値^2ー(→AC 内積 →AM)^2
=(1/2)√ (1^2+1^2+0^2)・(0.5^2+0^2+(-1)^2)ー(1・0.5+1・0+0・(-1))^2
=(1/2)√(2・(5/4)ー(1/4))
=(1/2)√(9/4)
=3/4

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/21 00:45

ベクトルAM、ACの外積の絶対値の半分がAMCの面積。

原点をA、ADをx軸、ABをy軸、AEをz軸とする
座標系を採用すると
AM=(0, 0.5, 1)
AC=(1, 1, 0)

AM X AC =(-1, 1, -0.5)

|AM X AC|=√2.25=1.5

この半分だから

0.75