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要するに (3) ということですね?
これも、(1)(2) で「D を通り、BE に平行な補助線」を引いたように、うまい補助線を見つけるのがポイントでしょう。
「H を通り、BC に平行な補助線を引き、そのBG との交点を P とする」と
HP = (3/5)BC
かつ
HP : BD = AH : AD
になりそうです。
これで AH : AD が決まれば、面積比が求まりそうです。
やってみれば
HP : BD = (3/5)BC : (1/3)BC = 9 : 5
ですから
AD : DH = 5 : 4
です。
従って、
△CDH = (4/5)△ACD = (4/5)(2/3)△ABC = (8/15)△ABC
よって
△CDG = (5/2)△CDH = (4/3)△ABC
△BDG = (1/2)△CDG = (2/3)△ABC ①
一方、△ACD = (2/3)△ABC で、(2) で求めたように
△AEF = (32/105)△ABC
ですから
四角DCEF = △ACD - △AEF = (2/3 - 32/105)△ABC = (38/105)△ABC ②
従って、①②より
四角DCEF : △BDG = (38/105) : (2/3) = 38 : 70 = 19 : 35
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