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高校数学です。 △ABCにおいて、AB＝5、AC＝3、A＝120°とする。 ∠Aの二等分線と辺BCの

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質問者：おみず
質問日時：2018/09/30 16:05
回答数：2件

高校数学です。
△ABCにおいて、AB＝5、AC＝3、A＝120°とする。
∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さの求め方はなんでしょう。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： takoハ
回答日時：2018/09/30 16:55

https://mathtrain.jp/nitobun より

(5+3)・AD=2・5・3・cos( 120度/2 )
∴ 8・AD=2・5・3・(1/2)=15
∴ AD=15/8

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No.1

回答者： masterkoto
回答日時：2018/09/30 16:15

余弦定理

BC²=５²＋３²－２・５・３cos120=25+9+15=49
BC=7
角Aの2等分線の性質から
BD:CD=AB:AC=5:3
∴BD=(5/8)BC=35/8
△ABDに余弦定理
35/8²=5²＋ｘ²-2・５xcos60
ただしx=AD
あとは計算だけ￥＾＾

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△ABCにおいてAB=4、AC=3、∠BAC＝60度とする。また△ABCの外接円をT、その中心をOとするとき以下の問いに答えよ。

（1）BCの長さを求めよ。答えは √13

（2）外接円Tの半径を求めよ答えは √39/3

（3）△ABCの面積を求めよ答えは 3√3

さらに、外接円Tの点B、点Cにおける接線の交点をDとおき、線分ADと線分BCとの交点をEとおく。

（4）∠BOCおよび∠BDCを求めよ。答えは ∠BOC=１２０度 ∠BDC＝６０度

（5）BDの長さを求めよ。答えは √13

（6）AE:EDを簡単な整数比で求めよ。答えは 12：13

途中式を教えてほしいです・・・よろしくお願いします

Aベストアンサー

（１）二辺の長さとその間の角が判っているので△ＡＢＣについて余弦定理を使います。
（２）上記でＢＣの長さが判り、∠ＢＡＣは与えられているので、今度は△ＡＢＣについて正弦定理を使います。
（３）ＡＣを底辺と考えると、高さは４＊ｓｉｎ３０°なので・・・
（４）∠ＢＯＣは弦ＢＣに対する中心角です。同じく円周角は∠ＢＡＣで６０°なので・・・
　　　△ＢＯＤは直角三角形で（ＯＢは半径、ＢＤは接線なので）あり、∠ＢＯＤは∠ＢＯＣの半分です。これらから∠ＢＤＯが判り、∠ＢＤＣはその二倍です。
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（６）（５）までで△ＢＤＣは正三角形であることが判り、その一辺（ＢＤ）も判るので面積も判ります。△ＢＡＥの面積と△ＢＤＥの面積はそれぞれ△ＢＤＣの面積と△ＡＢＣの面積をＢＥ／ＢＣ倍したものです。従ってＡＥ：ＥＤ＝ＢＡＥの面積：△ＢＤＥの面積＝△ＢＤＣの面積：△ＡＢＣの面積になります。

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（１）BDの長さ、（２）△DBEの面積

これらふたつの求め方の解説をお願いします。

Aベストアンサー

AD=x,BD=5-xとして⊿DBCに余弦定理を適用すると

(*は×）

7^2=(5-x)^2+8^2-2*(5-x)*8*cos60°

49=64+25-10x+x^2-16(5-x)(1/2)

整理して

x^2-2x=0

x=2すなわちAD=2

よって

(1)BD=5-2=3

⊿ABCの面積を⊿ABC等で表すと正弦定理より

⊿ABC=AB*BC*sin60°/2=5*8*（√3/2)/2=10√3

⊿DBC=DB*BC*sin60°/2=3*8*（√3/2)/2=6√3

DE//BCなので

⊿ADE=10√3*(2/5)^2=8√3/5

(2)⊿DBE=⊿DCE=⊿ABC-⊿DBC-⊿ADE=(10-8/5-6)√3=12√3/5

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△BCDに余弦定理
BD²＝BC²＋CD²-2(BC)(CD)cosC
⇔49=9+x²-6x(cos120) ただしCD=x
⇔x²+3x-40=(x-5)(x+8)=0
x>0だからx=5 \^^

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(BC＾2)=(6＾2)＋(3＾2)-2*3*6*(cos120度）
=63
BC=3√7
ADが∠CABの二等分線であるから
∠CBE=∠CAE=60度
∠BCE=∠BAE=60度
△BCEは三角形
BC=CE=3√7

までは理解が出来たのですが
△DBAと△DCEがなぜ相似になるのか分かりません。
御願いします。

それから、相似を使わない解き方も教えてください。

Aベストアンサー

＞３＾２＋ＡＤ＾２－２×３×ＡＤ×Ｃｏｓ（６０°）＝（√７）＾２
　　で、ＡＤ＝ｘとすると、cos60°＝1/2だから
　　９＋ｘ^2－３ｘ＝７　から　ｘ^2－３ｘ＋２＝０　と２次方程式が
　　できて、(ｘ－１)(ｘ－２)＝０　より　ｘ＝１，２・・（１）
　同様に、△ＡＢＤで余弦定理より
　　６^2＋ＡＤ^2－２×６×ＡＤ×cos60°＝(２√７)^2　で、
　　ＡＤ＝ｘ　として　ｘ^2－６ｘ＋８＝０を解いて、ｘ＝２，４・・（２）
　（１）、（２）からｘ＝２＝ＡＤ

＞∠BAE=∠BCE
＞と、もう一つの共通の角はどこか教えてください。
　　これは、対頂角だから　∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＥ
　　もしくは、円周角だから　∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＣ　です。

　よって、△ＤＢＡと△ＤＥＣが相似になる
　対応する辺はＡＢとＣＥ、ＢＤとＥＤ、ＤＡとＤＣなので、
　ＢＤ：ＤＡ＝ＥＤ：ＤＣ　となって、あとは数値を入れてＤＥを計算です。

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(1/6)((6-m) - 0)^3 = 2・(1/6)(6 - 0)^3
ではなく
2･(1/6)((6-m) - 0)^3 = (1/6)(6 - 0)^3
ですね。
2･(6-m)^3 = 6^3
2^(1/3)･(6-m)=6
6-m=6･1/{2^(1/3)}
6-m=6･{2^(2/3)}/2 (∵分母の有理化)
6-m=3･4^(1/3)
m=6-3･4^(1/3)
①ですね。

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ついでながら、積分する区間はαからbとなっていますが、aからbでかまいません。つまり、左右の式で同じ区間の積分であればO.K.です。

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AB＝5.BC＝3.B＝120°であるとき
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△ACDの内接の半径rの求め方と答え
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お願いします！！

(補足)上の問題は(1)～(4)まである問題で(1)ではAC＝7、(2)ではAD＝8をもとめました。
て

Aベストアンサー

rは、考え方のみ

四角形ABCDは円に内接しているから、∠D=180度ー∠B=60度より
正弦定理から、CDの長さがわかる！
ブラーマグプタの公式から、面積を求め、
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