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中3のの図形の証明について

図のように三角形ABCがある。辺BCの中点をMとし、線分AM上に任意の点Oをとる。直線COと辺ABの交点をP、直線BOと辺ACの交点をQとするとき、BC//PQであることを証明せよ。

ベクトルを使えば証明できるのですが、あくまでも中学生までの解き方で教えていただきたいです!

「中3のの図形の証明について 図のように三」の質問画像
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A 回答 (3件)

チェバの定理から


AP/PB・1/1・QC/QA=1
∴ AP/PB=AQ/CQ
∴AP:PB=AQ:QC
以下省略
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図のように三角形ABCがある。

辺BCの中点をMとし、線分AM上に任意の点Oをとる。直線COと辺ABの交点をP、直線BOと辺ACの交点をQとするとき、BC//PQであることを証明せよ。

直線AMの延長上の点Dを、OM=MDに取る。すると、
四辺形OBDCは平行四辺形になる。従ってPC//BD,BQ//DC。
よってAP:AB=AO:AD、AO:AD=AQ:ACとなる。
AP:AB=AQ:ACだからPQ//BCである。
「中3のの図形の証明について 図のように三」の回答画像2
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メネラウスの定理から


Cと△ABMから
AP/BP・BC/CM・MO/OA=AP/BP・2/1・MO/OA=1 ……(1)
Bと△ACMから
AQ/QC・BC/BM・MO/OA=AQ/QC・2/1・MO/OA=1 ……(2)
よって
AP/BP=AQ/QC 及び ∠BACが共通な三角形である
△APQと△ABCは相似関係であるから、PQ平行BCである。
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