3次元ベクトルにおいて、
a=(a[x],a[y],a[z]),b=(b[x],b[y],b[z])
の外積
a×b=(a[y]b[z]-a[z]b[y], a[z]b[x]-a[x]b[z], a[x]b[y]-a[y]b[z])
が定義できます。いくつかの性質もあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD% …
ところで、逆演算も定義としてはありえると思います。
a÷b=xとは、
x×b=aとなる3次元ベクトルx
ただ、そのようなxは一意的には存在しません。
しかし、外積を内積に変えて、
x・b=a(aは実数)となる3次元ベクトルx
を考えると、そのようなxの集合は、3次元空間で平面になります。
ちょっととっぴにいうと、内積の逆演算、内商a:bは、平面になるということもできます。
では、
x×b=aとなる3次元ベクトルx
を考えると、そのようなxの集合はどうなるのでしょうか?
また、平方根を制限したものを√で表したりするように、逆演算はしばしば制限したものを考えます。
なにか制限することで、外積の逆演算、外商を考えれないでしょうか?なにか制限することで、内積の逆演算、内商を考えれないでしょうか?
他に発展的なことは考えれないでしょうか?
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#1~#4は、幾何学的に見た外商という事になるでしょうか?。
代数的側面に注目した場合、物理の回転運動で使用するために、似た考えがあるようです。版が古いですが、ゴールド・スタインの古典力学(初版)のpp.171~177で、ダイアディックという名で紹介されています。例としては、Lを角運動量ベクトル,ωを角速度ベクトル,Iを慣性テンソル(行列)として、
L=Iω
ですが、Iを、
I=L/ω
で定義する方法が紹介されてます。3次元の外積は、回転成分を表す3×3の反対称行列の省略記法をみなせますから、ここら辺りは参考になる気がします。じつは外積を行列とみなせるという事も、この本で知りました。ゴールド・スタインの古典力学は、吉岡書店から、第5版くらいが現在出てる気がします。
No.2
- 回答日時:
>x×b=aとなる3次元ベクトルxの集合はどうなるのでしょうか?
x,a,bを位置ベクトルだとすると、xの集合はbを含みaに垂直な平面上で、bとの距離が|a|/|b|である直線です。
しかし、数学的には、この場合、(内積の場合も同様ですが)逆演算を考えてもあまり意味がありませんね。
No.1
- 回答日時:
x×b=aの両辺にbとxの内積を取ればaはbおよひxと直交します(図でも解ります)。
そこで、簡単のためベクトルa,bを直交座標のz,y軸にとり、
その成分を改めて(0,0,a),(0,b,0)とします。ベクトルxはx-y平面に
あることは明白ですから改めて(x,y,0)とします。
これらを計算するとxb=aを得ます。yは任意。従って直線になる。
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