両方に垂直な単位ベクトルを求める問題について

a=3i+j+2k , b=i−2j−3kの両方に垂直な単位ベクトルを1つ求めよ．

単位ベクトルだからx=(x,y,z)と置くとx²+y²+z²=1①

垂直：内積の和=0だから
aとxで、3x+y+2z=0②
bとxで、x-2y-3z=0③

①～③を連立させてx,y,zを求める。

ｚ=-7x,y=-11xより

これを①に代入すると
x=±√19/57
y=±11√19/57
z=±7√19/57

∴　(x,y,z)=(√19/57,11√19/57,7√19/57)、(-√19/57,-11√19/57,-7√19/57)
となったのですが、合っていますか？
違っていれば解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/21 16:27

外積から入ると簡単。

(3, 1, 2) × (1, -2, -3) = (1, 11, -7)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inner-c …
＞行列式形式の公式が美しいけど、サラスの公式知ってると計算は簡単。

これを正規化して双方向にすればよいので
±{1/(√(171))}(1, 11, -7)=±(√(19)/57)(1, 11, -7)

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2021/04/22 10:28

(x,y,z)=… じゃダメで、もちろん pi+qj+rk という形の答が求められているでしょう。

　ところで i,j,kって、もしかして四元数の話？

　ひょっとしてそうだとすると：　3次元ベクトルを表す四元数a,bについて、3次元ベクトルとしての外積a×bをあらわす四元数が
　　a×b = (abから実部を除いたもの）
であることを使って(a×b)/|a×b|（か、(b×a)/|b×a|のどっちか）を計算しろという練習問題なのかも。

　ご質問の場合、abを素直に展開すると
　　ab = (3i+j+2k)(i−2j−3k)
　　= 3ii - 6ij - 9ik + ji - 2jj -3jk + 2ki - 4kj - 6kk
これを
　　ij = -ji = k, 　jk = -kj = i, ki = -ik = j, ii = jj = kk = -1
を使って整理すると
　　ab = 5 + i + 11j - 7k
実部を捨てて
　　a×b = i + 11j - 7k
というわけで、確かに他の回答と合ってる。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/22 00:18

その答えが

ｚ=-7x,y=-11x
を満たすかどうか考えてみよう.

No.3 回答者： cametan_42 回答日時： 2021/04/21 22:48

僕も外積に一票、かなぁ。

|i　j 　k|
|3 1　2|=(-3+4)*i - (-9-2)*j + (-6-1)*k = i + 11j-7k
|1 -2 -3|

外積で出てきたベクトルの大きさは√(1^2+11^2+7^2) = √171なんであとは√171で割れば良い。

まぁ、単位ベクトルを1つ求めよ、ってぇんでもう一方向は考えなくて良い、って事でしょうけど。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/21 13:02

違います。

y=11x , z=-7x
ですね。
すると　x²=1/171 → x=±1/(3√19)

したがって
<1/(3√19), 11/(3√19),-7/(3√19)>
です。

一般には
a×b/|a×b|=<1,11,-7>/√171
で求められる。