平面上の異なる2点O、Aに対して、OA↑＝a↑とする。この時 次のベクトル方程式においてOP↑＝P↑

平面上の異なる2点O、Aに対して、OA↑＝a↑とする。この時
次のベクトル方程式においてOP↑＝P↑となる点Pの全体の範囲はどのような図形を表すか。
(1)│P↑＋2a↑│＝│P↑−2a│
解説の赤線のところなのですが整理したらなぜP↑・a↑＝0となっていたのですが、整理したら8PA↑になりませんか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/04 19:52

│P↑ + 2a↑│ = │P↑ - 2a↑│ を両辺２乗すると

写真のとおり │P↑ + 2a↑│² = │P↑ + 2a↑│² だが、
ベクトルの長さの２乗は内積で表すことができ、
│P↑ + 2a↑│² = (P↑ + 2a↑)・(P↑ + 2a↑)
　　　　　　　= P↑・P↑ + P↑・2a↑ + 2a↑・P↑ + 2a↑・2a↑
　　　　　　　= P↑・P↑ + 2P↑・a↑ + 2P↑・a↑ + 4a↑・a↑
　　　　　　　= ｜P↑｜² + 4P↑・a↑ + 4｜a↑｜²,
同様に │P↑ + 2a↑│² = ｜P↑｜² - 4P↑・a↑ + 4｜a↑｜² である。
よって ｜P↑｜² + 4P↑・a↑ + 4｜a↑｜² = ｜P↑｜² - 4P↑・a↑ + 4｜a↑｜²
となるから、同類項を整理して 8P↑・a↑ = 0. すなわち P↑・a↑ = 0.