線積分、面積分とは何？

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質問者：linuxbeginner
質問日時：2004/09/03 13:55
回答数：5件

現在、大学でベクトル解析を学んでいます。
そこで、線積分や面積分といったものがでてきたのですが、計算方法はわかったのですが、何を求めているのかが
今ひとつ分かりません。
　線積分とは、定点から、線分のある点に向かう
ベクトルとそのある点における値を掛けたものを線分上の
全ての点において足し合わせたもの、面積分とはある点における面素とその点における法線を掛けたものを面上の全ての点において足し合わせたもの
　と解釈しているのですが、やはり、どこの値がでてきているのかが今ひとつ分かりません。また、これを求めることによりどんな利点があるのでしょうか？力学や電磁気等を理解するには必須みたいですが・・・。
　よろしければ、回答お願いいたします。

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回答 (5件)

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No.1ベストアンサー

回答者： graduate_student
回答日時：2004/09/03 14:01

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。

高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

こういった視点からみてみますと、線積分とは「なにがしかの線を細かく分けて調べ、それをすべて足し合わせることによってその線全体の性質を調べること」を意味します。

例えば、「太さが一定でなく、とある関数であらわされているような紐の重さを計算する」というのが一つの例になるでしょう。

一方、面積分とは同じように書くならば、「何がしかの曲面を細かく分けて調べ、その量をすべて足し合わせることによって面全体の性質を調べること」になります。

例としては、日本全体の人口密度分布が分かっているときに、日本全体の人口を求めること、や、地価の分布が何らかの関数であらわされているとき、その地方の土地の値段の総量を求めるような計算が面積分です。

*******************************************
以上のようだそうです.

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この回答へのお礼

＞＞積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

私もその一人ですね。

＞＞例えば、「太さが一定でなく、とある関数であらわされているような紐の重さを計算する」というのが一つの例になるでしょう。
一方、面積分とは同じように書くならば、「何がしかの曲面を細かく分けて調べ、その量をすべて足し合わせることによって面全体の性質を調べること」になります。

例としては、日本全体の人口密度分布が分かっているときに、日本全体の人口を求めること、や、地価の分布が何らかの関数であらわされているとき、その地方の土地の値段の総量を求めるような計算が面積分です。

具体的な例を掲示して頂きありがとうございます。何となくですが応用例が分かった気がします。

お答えして頂いた皆様にポイントを差し上げたいのですが、ルールにより２名までしか差し上げることができないので、今回は先着順にポイントを差し上げたいと思います。皆様のお答えは非常に参考になりました。
ありがとうございます。

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お礼日時：2004/09/07 20:29

No.5

回答者： bluemoon1120
回答日時：2004/09/04 23:53

ベクトル解析を勉強していく上で大事なのは『場』の概念です。

「場」とは空間中の点を指定すれば”値”が決まるような量のことです。
場にはスカラー場とベクトル場があります。

・スカラー場とはその値がスカラーである場のこと　例えば
三次元空間でそれぞれの点における「気温」など

・ベクトル場とは値がベクトルである場のこと
例えば
三次元空間でそれぞれの点における「風」の方向ベクトルなど

です。その場の上で行う積分は

○ベクトル場Ｆの曲線Ｃにそった線積分とは

・Ｆが力ならば、曲線Ｃに沿ってした仕事の総和
（仕事＝力・動かされた距離より）

・Ｆが水の速度ベクトルならば、曲線Ｃに沿って流れ出した水の総量。

○ベクトル場Ｆの、曲面Ｓに沿った積分とは

・Ｆが水の速度ベクトルならば、曲面Ｓを通過した水の体積。

詳しくは岩波の「キーポイントベクトル解析」という本を読むと良く解ると思います。

これからストークスやガウスの定理も出てきてややこしくなってくると思うのでしっかりがんばってください。

参考URL：http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/isearch?isbn=IS …

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この回答へのお礼

＞＞ベクトル解析を勉強していく上で大事なのは『場』の概念です。

はい、電磁気学で痛感しています。

＞＞○ベクトル場Ｆの曲線Ｃにそった線積分とは

・Ｆが力ならば、曲線Ｃに沿ってした仕事の総和
（仕事＝力・動かされた距離より）

以前、力学で学んだ事がありますが、その時はベクトル解析はおろか、微積分もあまり勉強していなかった為に
さっぱり意味が分かりませんでした。が、ベクトル解析を学べば分かりそうな気がするので頑張って生きたいと思います。

参考URLで紹介して頂いた本も書店で見付けたら一読み
してみたいと思います。ありがとうございました。

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お礼日時：2004/09/08 00:48

No.4

回答者： cozycube1
回答日時：2004/09/03 23:46

ひとつの考え方ですが、

線積分：
　ある道を歩いていくとき、風に逆らったり、上り下りしながら歩いていく。そのときどきで踏ん張ったり、楽に歩いたりできます。で、歩き終わったときの、疲れ方の程度を求めるものである、と。

面積分：
　線積分の応用。ある地域をくまなく踏破したときの疲れ方の程度を考えるということ。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
一見、あまり線積分、面積分と関係なさそうですが、発想の転換でこういった捉えかたもできるのですね。
ありがとうございました。

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お礼日時：2004/09/08 00:41

No.3

回答者： nabla
回答日時：2004/09/03 17:53

こんなページはどうでしょう。

最後の方にベクトル解析についての記事があります。

ただ、面積分のところが若干弱いので補足しておきます。

面積分とは例えば川の中にある曲面を考えてその曲面を貫く単位時間あたりの水の量を求めるのに使ったりします。
どういうことかというと水の流量をあらわすベクトルをＶとします。

このＶというベクトルを面の微少な部分に垂直な成分と平行な成分に分けます。
このとき面に垂直な成分だけが面を通り抜けて、面に平行な成分は面を通り抜けることはありません。
つまりこのときＶと面積要素の内積は微少な面を単位時間に通過する水の量をあらわします。
それを全面にわたって足しあわせたものが面積分となっています。

参考URL：http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Poplar/2391 …

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
面積分のおおよその意味をとらえる事ができたような気がします。また、参考URLを参照させて頂いたのですが、電磁気学を学ぶための読み物として役立ちそうです。ありがとうございました。

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お礼日時：2004/09/08 00:38

No.2

回答者： ringohatimitu
回答日時：2004/09/03 14:39

簡単な例で言えば、平面上の関数と曲線が与えられていてその曲線上の線積分は関数と曲線に挟まれてできる曲面（平面に垂直）の面積を表しています。

また曲面上の関数を曲面上で面積分したものはその関数と曲面で挟まれてできる立体の体積を表しています。このくらいの感じをつかんでおけばいろんな積分の理解の助けになるかもしれませんがどうでしょうか。

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この回答へのお礼

お答えありがとうございます。う～ん。何となく分かったような気が。でも、まだまだ理解できていない部分があると思うんで、勉強してみます。

お答えして頂いた皆様にポイントを差し上げたいのですが、ルールにより２名までしか差し上げることができないので、今回は先着順にポイントを差し上げたいと思います。皆様のお答えは非常に参考になりました。
ありがとうございます。

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お礼日時：2004/09/07 20:35

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１．半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = （-2x, 2y, z）において、
　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
　　　　（条件：面積分と極座標を用いなければならない）

２．半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
　　　　（条件：ガウスの発散定理を用いなければならない）

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか？
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よろしくお願いします！

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1.
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f↑・n↑
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= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
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dS = r^2 sin θ dθ dφ.
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（１）
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それと、もう1つ
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Aベストアンサー

#2です。
A#2の回答でお書きした積分はSで囲まれた部分の体積です。
質問者さんの質問の面積積分ではありませんので下記の面積積分
の解答に差し替えてください。
訂正のお願いとお詫びをさせて頂きます。

1.
∂r/∂x × ∂r/∂y
=(1,0,-2x)×(0,1,-2y)
=|i_j_k; 1_0_-2x; 0_1_-2y|
=(2x,2y,1)
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=∬_Ω*(x^2+y^2)√{4(x^2)+4(y^2)+1}dxdy
Ω：2-x^2-y^2≧0,x≧0,y≧0
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=(...続きを読む

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まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

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まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
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よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
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です。

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Q面積分の問題です。

放物面S：z=x^2+y^2、(x^2+y^2<=4)について、
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の求め方を教えてください。

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(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
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=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
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z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←（答え）

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
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z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
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Qベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
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問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが，
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか，
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■半円柱の側面 (曲面部分)

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Qgrad、div、∇

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それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

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ふつうの関数 f(x) では，x を動かしたとき，
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これの３次元版が grad と思えばＯＫです．

例えば，圧力 p なら，それが一般には場所によって変わります．
x,y,z の３座標で場所が指定できますから，p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい．
そこで，場所を動かしたとき，p の変化の様子が知りたいとします．
でも，動かすと言ったって３次元なんだから，方向を決めないと困ります．
そりゃ，そうですよね．
大気圧考えてみれば，今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが，
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は，チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって，気圧はうんと下がっちゃいます．
で，y,z 方向には全く動かず，x 方向にだけ動いたとします．
このときの p の変化の割合は，偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね．
同様に，x,z を固定して y だけ動かせば，変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y，
x,y を固定して z だけ動かせば，変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z．
つまり，以上の３つの偏微分で変化の様子がわかります．
ばらばらに３つ扱ってもいいですが，
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x，
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y，
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z，
というベクトルにしたのが grad p です．
ベクトルにしておくと，
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります．

なお，creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです．
p は圧力(の強さ)そのもの，grad p は p の変化の割合です．
その場所での圧力は p です．

div は，creol さんも書かれているように，発散です．
極限値が発散する，などの発散とは全く違いますので，念のため．
例えば，水流中に仮想的な直方体を考えてください．
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね．
で，場所にもよりますから，j(x,y,z) と書きましょう．
テキストファイルじゃうまく書けないですが，j はベクトルです．
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる，後述)．
直方体の６面分全部考えてくださいよ．
水量ですから，スカラー量ですね．
え？流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう？
ええ，それでいいんです．
つまり，div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量，本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています．
式で書くなら， div j = - ∂ρ / ∂t です．
右辺のマイナスは減少だからついているんです．
ふつうの水流(例えば，川なんか)なら？
div j の計算のときに，流出量をプラスとして考えているので，
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください．
ごくふつうに川が流れているとき，
上流の方から流入量と，
下流側への流出量は同じですよね．
そうすると，プラマイうち消して，div j = 0，
直方体の中の水量は時間変化しません．

え，直方体の大きさ？
あ，それはですね，十分小さくとってください．
小さくとれば，流入量も流出量も小さくなっちゃう？
実は，正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります．

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です．
jx は j の x 成分，他も同様．

∇の記号は creol さんの書かれているとおり．
読み方は「ナブラ」(nabla) です．
ちょっと変わった名前ですが，
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています．

grad，div，と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation，回転)があります．

わかりやすく，ということで回答してみました．