
質問1.n次正方行列 A の行列式 det(A) が 0 でない( det(A)≠0 )ための必要十分条件を教えて下さい.
質問2.n次正方行列 B の行列式 det(B) が 0 になる( det(B)=0 )ための必要十分条件を教えて下さい.
「質問1」や「質問2」が,定理か何かの形で分かっていれば,是非,教えて下さい.
ちょっと,調べましたところ,Wikipedia には,記述がありません.「数学辞典・3版」や「数学辞典・4版」にも載っていないようです.その他の数学の辞典類にも見あたりません.
定理でなくても,det(A)≠0 又は det(B)=0 を調べる数学的手法があれば教えて下さい.
よろしくおねがいします.
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
体を成分にもつ n 次正方行列 A の話だとします.次は同値です.
(1) det(A) ≠ 0
(2) ある n 次正方行列 B で AB = BA = I (単位行列) を満たすものが存在する
(3) A の列ベクトルは線型独立
(4) rank(A) = n
(5) 連立方程式 Ax = 0 の解は自明なもの x = 0 に限る
(6) null(A) = 0
Wikipediaにも大体載ってますし,数学辞典でも行列の項などを引けば見つかります.線型代数の教科書であれば,どんなものにも載っているでしょう.
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/正則行列
行列の成分が体だとすれば,(1)と(2)が同値ということなので,これが使えそうです.有り難うございます.
ところで,(2)に関して,AB = BA = I を満たす B が存在しない場合は,det(A)=0 と考えて差し支えありませんか?
No.5
- 回答日時:
<回答No.4 お礼
その通りです.先の回答に書いたことの対偶をとれば質問2に答えになります.
No.2
- 回答日時:
有用なご指導,ありがとうございます.参考になります.
書き忘れましたが,行列の要素は実数です.複素数ではありません.
行列 A が対角化可能である場合と,対角化可能でない場合について,考えてみます.
もし,気が付かれた事がありましたら,お手数ですが,また,ご投稿下さい.
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