行列の問題が分かりません。 3次正則行列Aの列ベクトル分割をA=(a1 a2 a3)とおくとき,次を

行列の問題が分かりません。
3次正則行列Aの列ベクトル分割をA=(a1 a2 a3)とおくとき,次を示せ
(1)行列B=(a1+a2 a2+a3 a3+a1)は正則である。
(2)行列C=(a1-a2 a2-a3 a3-a1)は正則でない。

detを使ったやり方があるそうなのですが、まだ学習していないので他のやり方をおしてて下さい。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/23 14:30

(1)

p(a1+a2) + q(a2+a3) + r(a3+a1) = 0 は
(p+r)a1 + (p+q)a2 + (q+r)a3 = 0
a1, a2, a3 は一次独立だから
(p+r) = (p+q) = (q+r) = 0 → p = q = r = 0
従って a1+a2、 a2+a3, a3+a1 は一次独立
(2)
p(a1-a2) + q(a2-a3) + r(a3-a1) = 0 は
(p-r)a1 + (q-p)a2 + (r-q)a3 = 0
a1, a2, a3 は一次独立だから
p-r = q-p = r-q ⇒ p=q=r=任意値
従って
a1-a2, a2-a3, a3-a1 は一次従属

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/23 11:57

考え直してみたら、そう面倒でもなかった。

単位行列を (e1,e2,e3) として、
(1)
(A^-1)B = (A^-1)(a1+a2, a2+a3, a3+a1)
　　　　= ((A^-1)(a1+a2), (A^-1)(a2+a3), (A^-1)(a3+a1))
　　　　= ((A^-1)a1+(A^-1)a2, (A^-1)a2+(A^-1)a3, (A^-1)a3+(A^-1)a1)
　　　　= (e1+e2, e2+e3, e3+e1)
　　　　これを = F と置く。
F の逆行列は、掃き出し法やクラメルの公式などの成分計算で
F^-1 =
　　0　　0　　-1
　　-1　　0　　0
　　0　　-1　　0　と求められるから、
B^-1 = (AF)^-1 = (F^-1)(A-1) と逆行列が挙げられて、B は正則である。
(2)
(A^-1)C = (A^-1)(a1-a2, a2-a3, a3-a1)
　　　　= ((A^-1)(a1-a2), (A^-1)(a2-a3), (A^-1)(a3-a1))
　　　　= ((A^-1)a1-(A^-1)a2, (A^-1)a2-(A^-1)a3, (A^-1)a3-(A^-1)a1)
　　　　= (e1-e2, e2-e3, e3-e1)
　　　　これを = G と置く。
G(e1+e2+e3) = Ge1 + Ge2 + Ge3
　　　　　　　= (e1-e2) + (e2-e3) + (e3-e1)
　　　　　　　= 0.
e1+e2+e3 ≠ 0 に対して G(e1+e2+e3) = 0 だから、G は正則でない。
C が正則と仮定すると G^-1 = ((A^-1)C)^-1 = (C^-1)A が存在する
ことになってしまうから、C は正則でない。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/23 11:36

あ、「まだ学習していないので他のやり方を」って書いてあったか。

det という記法を使わないだけなら、 No.1 の行列式の計算を
行列を成分で書いてやってみせるだけ。
行列式そのものを使わないとなると、できなくはないがちょっと面倒だな。
正則 ⇔ 逆行列が存在 ⇔ 行列式の値が0 って話を
習ってないってことは、さすがになかろうと思うんだけど。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/23 11:30

「列ベクトル分割」ってのが耳慣れない言葉だけど、

列ベクトル a1, a2, a3 を各第1列,2列,3列 とする行列を (a1 a2 a3) と書く
って意味でok？ 一行目の記述を行列A だけの話だと解釈してしまうと、
(1)や(2)の文中の記法が未定義になってしまうからね。

detM は行列M の行列式を表す記号。
行列の諸々の計算法則については、教科書を参照のこと。
ここに書くと長過ぎるから。
行列M が正則であることと detM ≠ 0 が同値なことは思い出しておこう。
(1)
detB = det(a1+a2,a2+a3,a3+a2)
　　= det(a1+a2,a2+a3,(a3+a2)+(a1+a2)+(a2+a3))
　　= det(a1+a2,a2+a3,2(a1+a2+a3))
　　= (2^3) det(a1+a2,a2+a3,a1+a2+a3)
　　= 8 det((a1+a2)-(a1+a2+a3),(a2+a3)-(a1+a2+a3),a1+a2+a3)
　　= 8 det(-a3,-a1,a1+a2+a3)
　　= 8 ((-1)^3) ((-1)^3) det(a3,a1,a1+a2+a3)
　　= 8 det(a3,a1,a1+a2+a3)
　　= 8 det(a3,a1,(a1+a2+a3)-a3-a1)
　　= 8 det(a3,a1,a2)
　　= 8 (-1) det(a1,a3,a2)
　　= 8 (-1) (-1) det(a1,a2,a3)
　　= 8 detA
　　≠ 0.
(2)
detC = det(a1-a2,a2-a3,a3-a1)
　　= det(a1-a2,a2-a3,(a3-a1)+(a1-a2)+(a2-a3))
　　= det(a1-a2,a2-a3,0)
　　= 0.