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次の行列A,Bの線形写像fA,Bで与えられる像Im fa,fbと核Ker fa fbを求めよ

(1) A=  -1 3 -4    (2)     B= 1 1 2 -3
      3 1  7             1 -2 0 -3
      3 5  5            2 -5 -2 -6


という問題なのですが、Ker fa ,fbはどちらも求めることができました。

しかし、Im f を求める前にIm fの定義が教科書をみてもよくわかりません。。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=598931
↑の過去ログを見て、定義はおいといて変換してみたところ
A=  -1  0  0     B= 1  0  0  0
  13/14  0  0       0 -2/3 0  0
   0  14  0       0  0  -6  0


となり、rankA=2 rankB=3 となりました。

Im f はこの場合次元がそれぞれ2,3なので
(1)は行列Aの1列と2列、(2)は行列Bの1列と2列と3列
とおもい、答えを見てみると(1)はあっていたのですが
(2)だけR^3 となっていました。

まとめると、自分が聞きたいことは

・Im f を馬鹿な私に分かりやすく教えていただきたい。
・何故、(2)の答えがR^3なのか。
・やり方が間違っているところがあるか。
この三点です。

行列がみずらくてすみません。。。;
解説おまちしております。。。

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A 回答 (2件)

もっと素直に「Im(f)」の定義に戻りましょう.



(1)の場合,
f: R^3 -> R^3 で
f(x)=Ax ってところですか
この場合,Im(f)={ y ∈ R^3 | y=Ax,x ∈ R^3 }
です.
要は定義域全体がAでどういう集合に移るかです.
x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)とおくと
y1 = - x1 + 3 x2 - 4 x3 ---(1)
y2 = 3 x1 + x2 + 7 x3 ---(2)
y3 = 3 x1 + 5 x2 + 5 x3 ---(3)
とひとまず書き下せます.
ベクトルらしく書き方を変えます.
本来は縦ベクトルで書くべきですが書きにくいので横にします.
(y1 y2 y3)
= x1 (-1 3 3) + x2 (3 1 5) + x3 (-4 7 5)
です(行列から一気にこの表記にもってくることは容易ですが,
あえて泥臭くばらしています).
さて,こう書いたときに,
a1=(-1 3 3) a2=(3 1 5) a3=(-4 7 5)とおいて,
これはもとの行列の列ベクトルですが,
a2 + 3 a1 = (0 10 14)
-2 a3 + 8 a1 = (8 -14 -10) + (-8 24 24) = (0 10 14)
なので(列について基本変形してるだけです.
実際基本変形してみてください),
a2 + 3 a1 = 2 a3 + 8 a1
a2 = 5 a1 + 2 a3
です
Im(f) は x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 (x1,x2,x3は任意)なので
x1 a1 + x2 a2 + x3 a3
= x1 a1 + x2 (5 a1 + 2 a3) + x3 a3
= (x1 + 5 x2) a1 + (x3 + 2 x2) a3
と表わすことができます.
したがって,
Im(f) は基底が {a1 a3} の二次元ベクトル空間
と表現できます.
ここで要注意なのは,ベクトル空間の基底の取り方は
一意ではないということです.
したがって,別の基底を用いて解を書くことはもちろん可能です.
例えば(1)のIm(f)は実は基底としては
{a1 a2}でもいいでし,{a2 a3}でもOKです.
もっと他のものを持ってくることも可能です.

>Im f はこの場合次元がそれぞれ2,3なので
>(1)は行列Aの1列と2列

一般にはランクが2だからといって,行列の1列目,2列目が
Im(f)の基底になるなんてことはありません.自明な反例がすぐ
つくれます.こんなのです
0 0 0
0 1 0
0 0 1
ですので,面倒でも最初は練習だと思って
ここで書いたような「面倒な計算」を地道にこなした方がいいです.
そのうち「基本変形との関係」や
中学校以来のやってる「連立方程式の加減法」,
「ランクとイメージとカーネルの次元の関係」が
すとんと納得できるようになります.

別の考え方としては
行に関する基本変形をしてみてください.
そうすると今度は y1 y2 y3 の関係式がでてきます.
そうするとIm(f)は 6 y1 + 7 y2 - 5 y3 = 0 となります.
つまり
Im(f)={(y1 y2 y3) | 6 y1 + 7 y2 - 5 y3 = 0 }
です.
いろいろな表記がありますが,Im(f)そのものは一つです.

(2)に関しては
f: R^4 -> R^3 で
f(x)=Bx ですね
こっちは実は簡単で先にランクを求めて正解
ランクが3なんですから
Im(f)は3次元です.
ところが,fの行き先そのものが3次元のR^3ですので
Im(f)は「R^3の三次元部分空間」つまりR^3そのものというわけです.
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rankが3ということは、行列Bの1列と2列と3列は線形独立ということです。


Im(B)は、行列Bの1列と2列と3列が張る線形空間なわけですが(質問を見る限りはここまではOKなんだと思います)、
独立な3本の3次元ベクトルが張る空間は、3次元空間R^3全体になります。

この回答への補足

でも、それでしたら行列AはR^2となりませんか??

補足日時:2007/12/24 13:58
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この回答へのお礼

解説ありがとうございました。

お礼日時:2007/12/24 14:00

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