線形写像F: F : R^3→R^2 , {x,y,z}→{x+y+3z,2x,3y,4z} ImF

線形写像F:
F : R^3→R^2 , {x,y,z}→{x+y+3z,2x,3y,4z}

ImFの基底は、表現行列を行基本変形して、(1,2),(1,3)とも求められますが、表現行列を列基本変形して、基底を(1,0),(0,1)と求めるこことはできますか？

質問者からの補足コメント

• すみません。書き間違えました。
  正しくは、
  {x,y,z}→{x+y+3z,2x+3y+4z}
  です。

    補足日時：2022/10/11 11:50

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/11 13:28

結果的に Im F = R^2 なんだから、

基底は { (1,2), (1,3) } でも { (1,0), (0,1) } でもかまわないよね。

ところで、質問文中の「行基本変形」と「列基本変形」が逆な気がして
違和感があるんだけれども、
F の表現として R^3 の行ベクトルに右から 3行2列の行列を掛ける
ことを考えているのかな？
よくある、列ベクトルに左から 2行3列の行列を掛けるスタイルだと、
基底を探すのに使うのは列基本変形のほうなんだけれども。

F を 3行2列の行列で扱ってるとして、基底を求める変形は
1　2
1　3
3　4
↓第１行の １倍を第２行から引く
↓第１行の 3倍を第3行から引く
1　2
0　1
0　-2
↓第2行の 2倍を第1行から引く
↓第2行の-2倍を第3行から引く
1　0
0　1
0　0
で、
行基本変形だけで基底 { (1,0), (0,1) } が出せる。

左から 2行3列の行列を掛けるスタイルの場合は、
この変形の行と列が反対になるだけ。

この回答へのお礼

すみません。色々間違えていました。
理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/12 09:12

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/11 11:34

「F : R^3→R^2 , {x,y,z}→{x+y+3z,2x,3y,4z}」ってどういうこと? 値域に 4つの成分があるようにしか見えないんだが.

(1, 2) と (1, 3) で基底をなすなら (1, 0) と (0, 1) でも基底になるよ. というか R^2 でそうなら 2本の (独立な) ベクトルをもってくればどんなものでも基底になるんだけど. ただしかっこの使い分けをどのようにしているのかは不明.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
R^2なら一次独立などんなベクトルでも基底になることは理解できたのですが、ImFが列基本変形をして求められる理由がよくわかりません。ご教授お願いします。

かっこの使い分けもミスです。申し訳ございません。

お礼日時：2022/10/11 11:57