微分の問題です。

ｙ＝1/(ｘ^2-1) の増減表を使って、グラフを書け、漸近線も求めよ。

これができなくて泣きたくなります。
漸近線はすぐに、ｘ＝±1、ｙ＝0はわかります。

まず、y'=-2x/(x^2-1)^2

y''でつまずいています。
計算すると、-2x^2+8x+2/(x^2-1)^3　となりました。
-2x^2+8x+2　を解の公式で解けそうですが、
このグラフに変曲点があるとは思えないです。
解くと、ｘ＝(-8±√80)/-4=2±√5
計算が複雑過ぎませんか？やり方間違ってますか？
テキストでは基本問題になってるのですが・・・（泣）

どうすればいいでしょうか？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/31 21:55

＞ ｙ'' ですが、 x・(-2・2x)/(x^2-1)^3

＞ ここは、 -2x・(-2・2x)/(x^2-1)^3 ではないでしょか？

いや、その -2 は、右辺の先頭、 { の前に書いてあるから。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すいません、気づきませんでした。
そこにありましたか！
納得です。私のミスです。

すいません、試験前で他の科目に時間がかかっていて、
こちらはもう少しお時間をください。

以上、よろしくお願いします。

お礼日時：2022/07/31 23:06

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/30 20:53

微分すると

ｙ = 1/(ｘ^2-1),
y’ = -1・2x/(x^2-1)^2,
y’’ = -2{ 1/(x^2-1)^2 + x・(-2・2x)/(x^2-1)^3 }　
　= 2(3x^2+1)/(x^2-1)^3.
増減表は
x　　　　　　　-１　　　　　　　0　　　　　　　１
ｙ’’ 　　＋　　　　　　　ー　　　　　　ー　　　　　　　＋
y’　　　＋　　　　　　　＋　　　　　　ー　　　　　　　ー
y　　下凸増　不連続　上凸増　極大　上凸減　不連続　下凸減

この回答へのお礼

すいません、連絡遅くなりました。
昨晩は頭がぐちゃぐちゃになって寝てしまいました。
ｙ''ですが、 x・(-2・2x)/(x^2-1)^3
ここは、 -2x・(-2・2x)/(x^2-1)^3 　ではないでしょか？

以上、よろしくお願いします。

お礼日時：2022/07/31 09:49

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/30 17:53

1.

　|x|<1 のとき、y<0 、また、|x| → 1で y → -∞
　|x|>1のとき、y>0、また、|x| → 1で y → +∞
　|x| → ∞ で y → +0

2.
　x<0 → y'>0 , x>0 → y'<0
だから、x<0で傾きは正、x>0で傾きは負。

3.
　y''=-2{1/(x²-1)²+x(2x)(-2)/(x²-1)³}
　　=-2{(x²-1)-4x²)/(x²-1)³}=2(3x²+1)/(x²-1)³

　|x|<1 → y''<0 (y'=傾きが減少)
　|x|>1 → y''>0 (y'=傾きが増加)

4.
以上により、図のようになる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
こんな感じで増減表をつかって解けないでしょか？
https://examist.jp/mathematics/explicit/bunsukan …
|x|<1 だけでも頭がこんがらがってしまいす。更に難しく感じます。
もちろん、-1＜ｘ＜1のことだとはわかるのですが。
ちょっと絶望的です。すいません。

お礼日時：2022/07/30 18:30