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積分の面積を求める問題で
上−下(式)をしなければいけませんがどちらが上でどちらが下というのはどのようにして分かるのですか?
また求める上で必要な事はどちらが上か下かの他に何があるのでしょうか?

「積分の面積を求める問題で 上−下(式)を」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 図がきちんとかけなければ解けないのでしょうか?
    もし、「最低これらが分かれば解ける」という条件があれば教えてほしいです

      補足日時:2018/07/14 10:19
  • やりました。その次はどうすればいいのでしょう?

    「積分の面積を求める問題で 上−下(式)を」の補足画像2
      補足日時:2018/07/14 11:10
gooドクター

A 回答 (7件)

①まず、共有点のx座標を調べる


-x³+2=-x²-x+3⇔x³-x²-x+1=0⇔(x-1)²(x+1)
よりx=1,-1
②次に記述式ならば、グラフの概形を書く(交点や2曲線の上下関係が分かる程度の概形)
②’グラフを書く必要が無いというシーン(選択式や空欄補充など)なら-1~1の間のxを適当に選んでf(x)とg(x)の大きさを比較する
そこで、仮にx=0で調べてみる
f(0)=2
g(0)=1
よってx=0ではf(x)の方が上にある
この上下関係は、xが-1~1の間では変わらないはずだから、この範囲ではf(x)の方が上にあると言える。

2曲線に囲まれる面積で
①が必須、②または②’はシーンに応じて使い分け
後は上下関係に注意してx:-1~1の範囲で積分。

ちなみに積分計算するときに1/6公式を利用すると楽!^-^
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この回答へのお礼

天才やな

あぁ〜非常に分かりやすいです泣綺麗にまとまっていてとてもとても分かりやすいです泣きありがとうございます

お礼日時:2018/07/16 11:42

>やりました。

その次はどうすればいいのでしょう?

この補足コメントは、NO1 さんの解答に対するものですね。
y=-x² のグラフは、原点を頂点とする上に凸な放物線ですね。
g(x)=-{x+(1/2)}²+(13/4) ですから、y=g(x) のグラフは、
y=-x² のグラフの頂点が (-1/2, 13/4) となるように平行移動させたものになります。

この変形は、平方完成といって グラフの形を分かりやすく表す方法のひとつです。
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

最後まで丁寧な回答感謝いたします泣ありがとうございました

お礼日時:2018/07/16 11:49

質問文をあまり読んでませんでした。

共有点のx座標は-1と1ですから、その間の例えばx=0での大きさを比較すればいいです。
f(0)=2,g(0)=3ですから、
(-1<x<1)のとき、g(x)>f(x)
となります。
したがって、
S=∫[-1,1](x^3-x^2-x+1)dx=∫[-1,1](x-1)^2(x+1)dx
(t=x-1とおく。)
=∫[-2,0]t^2(t+2)dt=4/3
となります。
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この回答へのお礼

助かりました

共有点の間の数字を代入するというやり方、すごく参考になりました。それで分かりますね!回答ありがとうございます

お礼日時:2018/07/16 11:49

これだけの問題であれば、グラフを描く必要は全くありません。


f(x)-g(x)=0
より
x=1(重解),-1
が求められます。
f(1)= 1
(1,1)が求める点となります。
x=1は重解ですから、(1,1)で2曲線は接しています。
問題の続きがありそうですね。例えば、これらの曲線によって囲まれた部分の面積を求めよとか。
そのときには、これらの共有点の情報を使ってグラフを描くことが重要です。
ここで、重要なことは(1,1)で2曲線が接することです。
ですから、初めに、グラフを描くのは時間の無駄です。
いくら、丁寧に描いても(1,1)で接するかどうか分かりませんから。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます♩

お礼日時:2018/07/16 11:49

あなたが考えた通り、f(x)=g(x) から f(x)-g(x)=0 として計算すればよいと思いますよ。


この式は x=-1 で、成り立ちますから、(x+1) の因子があるはずです。
つまり、 f(x)-g(x)=(x+1)(x²-2x+1)=(x+1)(x-1)²=0 で、x=1, -1 となりますね。
第一象限ですから、x≧0、f(x)≧0 と云う事で、あとは分かりますね。

図は頭の中で イメージするだけで十分なのでは。
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この回答へのお礼

ありがとう

回答ありがとうございます!

お礼日時:2018/07/16 11:44

まず、最低限、両方の曲線のグラフが描けないとダメ。



グラフを描くことで、上下関係が分かる。(逆に、描かないと、上下関係は分からない)

面積を求める際に必要なのは、f(x)-g(x)の式(←f(x)が上のとき。g(x)が上なら、g(x)-f(x)の式)、上下関係、交点(面積を求めたい領域の両端)のx座標、の3つ。

あと、知っておくと良いのは、f(x)-g(x)(又はg(x)-f(x))の式が分かればいいのであって、f(x)、g(x)の個々の式は必要ない(この問題の場合は個々の式が書いてあるけど)ということ。
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この回答へのお礼

解決しました

回答ありがとうございます!

お礼日時:2018/07/16 11:47

まずは、g(x)を(x-a)^2+bの形にして下さい。

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