「f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めよ」 という積分の面積を求める典型問題がありますが、

「f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めよ」
という積分の面積を求める典型問題がありますが、
参考書の解説では、f(x)とg(x)のグラフの概形をもとに、∫(上のグラフ)-(下のグラフ)dx 上端、下端はグラフの交点という式を立てていますが、わざわざ上のグラフと下のグラフという位置関係を調べなくても
|f(x)-g(x)|と絶対値をつけて積分をすれば良いと思うのですが、なぜ参考書や教科書では逐一グラフの上下を調べているのですか？

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/09 14:03

その答えを ∫|f(x)-g(x)|ｄｘ と書いたままで後は知らん顔する場合にさえ、

∫ の範囲を特定するために f(x)-g(x)=0 が成り立つ最小の x と最大の x を
求める必要はある。∫[-∞,+∞] で積分してしまったら、おそらく無限大発散
してしまうんだろうから。
積分区間を特定したとしても、f(x)-g(x) が正になる x と負になる x を区別して
∫|f(x)-g(x)|dx = ∫[f(x)-g(x)>0となるx]{f(x)-g(x)}dx
　　　　　　　　+ ∫[f(x)-g(x)<0となるx]{-f(x)+g(x)}dx　←[＊]
と変形しなければ、それ以上の式変形はできそうにない。
∫ の式じゃなく、値を実数で答える問題なんじゃないのか？

[＊] の変形を行うためには、f(x)-g(x)=0 の解を全て見つけて
解と解の間の区間で f(x)-g(x) の正負がどっちになっているかをチェック
しなくてはならない。これは必須。その際、グラフを書く必要は必ずしもなくて
不等式 f(x)-g(x)>0 を代数的に解いても構わないんだけど、
グラフ書いたほうが話が早いよねってだけのこと。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/06/09 13:50

|f(x)-g(x)|と絶対値をつけて積分をすれば良い

　　その通りですが　実際に絶対値記号を外して計算する時に
どちらが上になるか求める必要があるからです。つまり
積分記号の初期値と終端値を決めないと計算できないから
結局　わざわざ上のグラフと下のグラフという位置関係を調べなければならなくなるからです。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/09 11:27

No.4 打ち損ない。

×LRU → ◯ReLU

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/09 11:24

|f(x) - g(x)| の積分は場合分けなしで

　　∫[a〜b]|f(x) - g(x)| dx
　　= lim[ε→+0] ∫[a〜b] ε(ln(1 + exp((f(x)-g(x))/ε) + ln(1 + exp((g(x)-f(x))/ε)) dx
と表せる。なぜなら、
　　|p| = max(p,0) + max(-p,0)
　　max(p,0) = lim[ε→+0] ε（ln(1 + exp(p/ε))
だからです。ただし、lnは自然対数、expは指数関数。（max(p,0)は、最近では「LRU関数」の方が通りが良いかも。）
　一般に
　　max(x[1], x[2], ..., x[n]) = lim[ε→+0] ε Σ[j=1〜n] ln(a[j] exp(x[j]/ε) (a[j]>0)
です。

　さて、場合分けなしで表したというだけじゃ終わらない。最後まで計算してみなくちゃね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/09 09:58

絶対値を付けたまま、どうやって積分する？

もしグラフが途中で交差していて、上限関係が逆になっていたらどうする？

典型的な例で、自分でやってみればよい。
論より証拠。

たとえば
　f(x) = x^2
　g(x) = -x + 2
と
　x=0, x=3
で囲まれた面積を計算せよ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/09 04:06

では

f(x)=x^3
g(x)=x^2
としたとき
f(x)とg(x)のグラフで囲まれた面積を求めてください

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/09 01:46

そう思うのであれば, 実際にやってみればいいんじゃないかな.

「他人に聞く」よりも「自分で体験する」方が, 理解が深まると思うよ.