問題は「不等式ax²+y²+az²-xy-yz-zx≧0が任意の実数x，y，zに対して成り立つような

問題は「不等式ax²+y²+az²-xy-yz-zx≧0が任意の実数x，y，zに対して成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。」です。
0<1-4aではないのは、(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²≦0…①だから、z²の係数が正だと下に凸の放物線で、重解か異なる2つの実数解を持ってしまい任意の実数にならないから、z²の係数が負、つまり1-4a<0でないと「任意の実数」にならないからですか？

それと、この問題は要するに「任意の実数xかつ任意の実数yかつ任意の実数zに対して成り立つ定数aの値の範囲」を求める問題だから、まず任意の実数yに対して成り立つ条件を判別式で定めて、その判別式にxとzがいるから、その判別式が任意の実数zに対して成り立つ条件をまた判別式を使って定めて、その判別式にxがいるから任意の実数xに対して成り立つ条件をまた判別式を使って定めて、最終的に出てくるaだけが残った不等式は、任意の実数yかつ任意の実数zかつ任意の実数xに対して成り立つ条件を満たしている不等式だから、そのaだけの不等式を解けば、題意を満たすaの値の範囲が出る、という問題ですか？判別式を使いまくってaの条件を定めながら絞っていく、という問題ですか？
説明が下手で申し訳ないです。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/19 22:46

(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²≦0 （ｚは文字扱い、ｘ,aは数字（定数）扱い）が任意のz、言い換えればすべてのｚについて成り立たなければいけません

グラフをイメージすると　ｚの2次関数のグラフf(z)=(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²が、横軸（z軸）より上になってはいけないということです
下に凸の放物線では、必ず横軸より上になる部分ができてしまうので不適です
ゆえに、1-4a>0では不適

2つ目の質問については、あなたが考えている通りだと思います
すべてのyについて与えられた不等式が成り立つための条件は
(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²≦0　ですが
x,zも任意なので、これがすべてのx,zについて成り立たないといけない

そのためには、1-4a<0かつ　(1-a)(1+2a)x²≦０が成り立たないといけない・・・ここで、aの条件が少し限定されていることには留意です
ただ、xは任意なので、これがすべてのｘについて成り立たないといけない

そのためには、x²の係数が０以下でないといけない　というように、条件を表す式の中でもｘ、ｚが任意であることを意識すると
次々と新たな条件が見えてくるという流れです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/03/20 00:27

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/19 23:22

(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²≦０……①

w=(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x² とおいてグラフを考えます。……Ⓐ
ｗはｚの2次関数で、1-4a>0 のときは、下に凸の放物線です。

(1-4a)z²+6xz+(1-4a)x²=0 の判別式D₂について、
D₂<0 のときは、Ⓐのグラフは、ｚ軸と共有点を持たないのでので、つねに、ｗ>0 です。
D₂≧０のときは、Ⓐのグラフは、ｚ軸と共有点を持ちます。ｗ≦０の部分もありますが、任意のｚにつ
いて、ｗ≦０は成り立ちません。
よって、Ⓐのグラフが下に凸の場合は、①が任意の実数ｚに対して常に成り立つことはありえません。

そこで、Ⓐのグラフが上に凸の場合を考えます。つまり、1-4a<0 のときを考えます。
Ⓐのグラフが上に凸の場合は、
D₂<0 のときは、Ⓐのグラフは、ｚ軸と共有点を持たないのでので、つねに、ｗ<0 です。
D₂=0 のときは、Ⓐのグラフは、ｚ軸に接するので、つねに、ｗ≦0 です。
D₂>0 のときは、Ⓐのグラフは、ｚ軸と共有点を２つ持ちます、Ⓐのグラフは、ｗ≦０の部分もありま
すが、任意のｚについて、ｗ≦０は成り立ちません。

したがって、①が任意の実数ｚに対して常に成り立つための条件は、1-4a<0、かつ、D₂≦０です。

後半部分については、概ね書かれているとおりですが、判別式は2回、D₁、D₂を使っています。
②が任意の実数ｘに対して常に成り立つことをいうときは、判別式ではなく、ｘ²≧０ということを使っ
ています。そのようにして、題意を満たすaの値の範囲を求めています。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/03/20 00:27