すべての実数に対して成り⽴つ不等式

任意の実数 x に対して、不等式 ax
2 - 2x + a - 1 ≦ 0 が成り⽴つような定数 a の
値の範囲を求めよ。
がわかりません。

質問者からの補足コメント

• すみません。
  ax^2-2x+a-1 ≦ 0
  でした。

    補足日時：2022/07/25 14:25

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/26 14:20

2次式のグラフの 概形は 分かりますね。

y=ax²-2x+a-1 は a>0 で 下に凸、a<0 で 上の凸な放物線です。
任意の実数 x について成り立つのですから 当然 a<0 です。
で、問題は 0以下ですから、y=0 の解は 重解になる筈です。
つまり 判別式≦0 が 条件になります。
1²-a(a-1)≦0 → a²-a-1≧0 → 解の公式で解いて a<0 とあわせて、
a≦(1-√5)/2

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/25 14:46

No.3 です。

失礼、間違えていた。

②から③にするときに、a<0 なので不等号が逆転しますね。


＞つまり
＞　a < 0 　　　　　　　　　①
＞かつ
＞　-(1/a) + a - 1 ≦ 0　　　　②

ここから先を、以下に修正＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

②より
　-1 + a^2 - a ≧ 0　　　③'　　　　　←不等号の向きが逆転
「a^2 - a - 1 = 0」の解は、解の公式より
　a = [1 ± √(1 + 4)]/2 = (1 ± √5)/2
従って、③' の解は
　a ≦ (1 - √5)/2　または　(1 + √5)/2 ≦ a

これと①の共通範囲より
　a ≦ (1 - √5)/2

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/25 14:40

不等式は

　ax^2 - 2x + a - 1 ≦ 0
ですか？

そうであれば
　ax^2 - 2x + a - 1
= a[x^2 - (2/a)x] + a - 1
= a[x - (1/a)]^2 - (1/a) + a - 1
ですから

y = ax^2 - 2x + a - 1
は
・a>0 なら下に凸、a<0 なら上に凸の放物線
　放物線の頂点は (1/a, -(1/a) + a - 1)
・a=0 なら直線
　　y = -2x - 1
ということになります。

与不等式は、任意の実数 x に対して
　y ≦ 0
が成り立つということなので、
・a>0 の「下に凸の放物線」
・a=0 の y = -2x - 1
ではあり得ない。

あり得るのは
・a<0 （上に凸の放物線）で、頂点の y 座標が 0 以下の場合
ということが分かる。
つまり
　a < 0 　　　　　　　　　①
かつ
　-(1/a) + a - 1 ≦ 0　　　　②

②より
　-1 + a^2 - a ≦ 0　　　③
「a^2 - a - 1 = 0」の解は、解の公式より
　a = [1 ± √(1 + 4)]/2 = (1 ± √5)/2
従って、③の解は
　(1 - √5)/2 ≦ a ≦ (1 + √5)/2

これと①の共通範囲より
　(1 - √5)/2 ≦ a < 0

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/25 14:29

ax² - 2x + a - 1 ≦ 0 ですね？

a ≧ 0 だと、どうしても ax² - 2x + a - 1 > 0 となる x が生じてしまいます。
a < 0 で、任意の実数 x に対して ax² - 2x + a - 1 ≦ 0 となる条件は、
0 > (判別式) = (-2)² - 4a(a-1) = -4(a^2 - a -1).
すなわち a^2 - a -1 > 0 です。
二次方程式の解の公式を使って、この不等式を強引に解くと
a^2 - a -1 > 0　⇔　( a < (1 - √5)/2 または a > (1 + √5)/2 )
なので、a < 0 を考慮すると、問題の答えは a < (1 - √5)/2 です。

No.1 回答者： isoworld 回答日時： 2022/07/25 14:12

不等式 ax　2 - 2x + a - 1 ≦ 0　は、間違っていませんか？