不等式の同値性について。 座標平面上で点P(x, y)が|x|≦1，|y|≦1を満たしながら動くとき

不等式の同値性について。

座標平面上で点P(x, y)が|x|≦1，|y|≦1を満たしながら動くとき、Q(x+y, x-y)が動く領域を図示せよ。

という問題の解法についてですが、解答では
x+y=X、x-y=Y と置き
x=(X+Y)/2、y=(X-Y)/2••••••① として
|x|≦1，|y|≦1より-1≦x≦1、-1≦y≦1なので①を代入し
-2≦X+Y≦2、-2≦X-Y≦2 として変数をx, yに置き換えてこの不等式から(0, 2),(2, 0),(0, -2),(-2, 0)を通る菱形の領域を図示していましたが、

仮に|x|≦1，|y|≦1に①を代入し、2式共に両辺を二乗した後4倍して
(X+Y)^2≦4，(X-Y)^2≦4 とし、これらを足し合わせて
2(X^2+y^2)≦8 ∴X^2+Y^2≦4 と変形すると、図示されるのは菱形ではなく(0, 0)を中心とする半径2の円となってしまいました。
後半の誤った解法では、どこかで同値性が崩れているのではないかと思っているのですが、どこで崩れているのか、またそれ以外の点でも誤りがあればご指摘頂きたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/08/07 12:58

A≦B かつ C≦D　⇒　A+C≦B+D

は真ですが逆は偽です。
A=B+α,C=D-α(α>0)はA+C≦B+Dを満たしますがA≦Bを満たしません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/08/08 21:50

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/08/07 06:15

「A≦4　かつ　B≦4」

⇔「A-4≦0　かつ　B-4≦0」
⇔「(A-4)+(B-4)≦0　かつ　(A-4)(B-4)≦0」
です。

「A≦4　かつ　B≦4」と「A+B≦8」は同値ではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/08/08 21:50