ミンコフスキーの不等式が0<p<1では成り立たない事を示してください。

ミンコフスキーの不等式が0<p<1では成り立たない事を示してください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/11 19:03

ミンコフスキーの不等式は、 1 < p のとき数列 xk, yk に対して

　　{Σ[k=1..n] |xk + yk|^p}^(1/p)
　　≦ {Σ[k=1..n] |xk|^p}^(1/p) + {Σ[k=1..n] |yk|^p}^(1/p)
でしたね。

教科書でミンコフスキーの不等式の証明を確認しましょう。
多くの書籍で、イェンセンの不等式 → ヘルダーの不等式 → ミンコフスキーの不等式
の順で導出してあるはずです。イェンセンの不等式は関数の凸性を表現する式であり、
ミンコフスキーの定理の成立は、x^p (p > 1) が下凸な関数であることに由来します。
0 < p < 1 では x^p は下凸でない(上凸である)関数なので、成り立たないのです。

実際、p = 1/2, n = 2, (x₁,y₁) = (1,0), (x₂,y₂) = (0,1) を代入してみると、
左辺 = { √|1 + 0| + √|0 + 1| }^2 = 4,
右辺 = { √|1| + √|0| }^2 + { √|0| + √|1| }^2 = 2.
となって、不等式は成立していませんね。 これが反例です。