数学の問題で質問です。 n,kは自然数とする。lim[n→∞]1/n!=0を使って lim[n→∞]

数学の問題で質問です。

n,kは自然数とする。lim[n→∞]1/n!=0を使って
lim[n→∞]n^k/n!=0であることを示す。
まず、
n^k/n!=n/n · n/n-1 · … · n/n-k+1 · 1/(n-k)!

また、ある番号N(>2k)以上の全てのnに対し
不等式 (イ)<1-m/n<(ウ) が成り立つ

ただしk=1,2,…k-1(k≧2)とする。

よって、
n/n · n/n-1 · … · n/n-k+1<2^(エ)
が成り立つから

n^k/n!<{2^(エ)}(オ)

ここで
lim[n→∞]1/n!=0からはさみうちの原理より
lim[n→∞]n^k/n!=0が示される。

という問題で(イ)〜(オ)の求め方が分かる方がいましたらその過程まで教えていただけますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/04 19:20

n,kは自然数とする。

まず、
n^k/n!=n/n · n/(n-1) · … · n/(n-k+1) · 1/(n-k)!
また、ある番号N(>2k)以上の全てのnに対し
m=1,2,…k-1(k≧2)とすると
不等式 1/2<1-m/n<1 が成り立つ
1<n/(n-m)<2
よって、
n/n · n/(n-1) · … · n/(n-k+1)<2^(k-1)
が成り立つから
n^k/n!<{2^(k-1)}{1/(n-k)!}
1/n!<n^k/n!<{2^(k-1)}{1/(n-k)!}
0=lim[n→∞]1/n!≦lim[n→∞]n^k/n!≦lim[n→∞]{2^(k-1)}{1/(n-k)!}=0
∴
lim[n→∞]n^k/n!=0

この回答へのお礼

問題文の訂正までありがとうございます。

お礼日時：2024/06/05 18:58

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/05 09:25

>不等式 (イ)<1-m/n<(ウ) が成り立つ

の m ってなに？

>ただしk=1,2,…k-1(k≧2)とする。
謎の式だけど k って定数じゃないの？
ひょっとしてこれが m ?