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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
lim Xn = lim e^log Xn = e^lim log Xn = e^log b = b.
と捉えてもいいし、
lim Xn = a の log をとって log a = log lim Xn = lim log Xn = log b.
よって a = b としてもいい。
関数の連続性と逆関数の連続性は表裏一体だからね。
いずれにせよ、根拠は
lim[x→c] f(x) = a, lim[y→a] g(y) = b が両方収束するとき
lim[x→c] g(f(x)) = b が収束するって定理。
質問にある「連続性」は、この lim[y→a] g(y) = b のことを言っている。
その証明は、解析学の教科書に εδ で説明されているが、
結論だけは高校の教科書にも書いてある。
No.1
- 回答日時:
a=logb
とする
指数関数の連続性より
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|e^x-e^a|<ε…(1)
lim_{n→∞}logXn=logb
だから
δ>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|logXn-logb|<δ
だから(1)から
|e^{logXn}-e^{logb}|<ε
だから
|Xn-b|<ε
だから指数関数の連続性より
lim(n→∞)Xn=b
対数関数ではなく指数関数の連続性です
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