n次元半球面とn次元球体が位相同形であることの証明

こんにちは。tumftmkといいます。
位相についての質問です。

先日、教科書に次のような記述がありました。


Ａ＝｛（x1,x2,…,xn,xn+1）∈R^(n+1) | xn+1≧0 , (x1)^2+…+(xn)^2+(xn+1)^2=1 }　　（ｎ次元上半球面）
Ｂ＝｛（x1,x2,…,xn）∈R^n | (x1)^2+…+(xn)^2 ≦ 1 } (ｎ次元球体)
とする。

このとき、写像　ｆ　を
ｆ ：Ａ→Ｂ、（x1,x2,…,xn,xn+1）|→ （x1,x2,…,xn）　　（射影）
とすると、これは同相写像である。

よってＡとＢは位相同形である。


このようにありましたので、「ｆは同相写像」をきちんと証明しようとしました。
ｆが全単射、ｆが連続　までは分かりました。
そしてε-δ論法を使ってｆの逆写像が連続になることを示そうとしましたが、うまく出来ませんでした。
（直感的には分かるのですが…）


ｆの逆写像を　ｆ^(-1)　とすると
　
　ｆ^(-1)　：Ｂ→Ａ　、（x1,x2,…,xn,）|→ （x1,x2,…,xn, [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2) ）

となります。
　
　ｆ^(-1)　が連続　⇔　各成分が連続　　なので、（ｎ+1）成分について考えて、

　ｇ　：Ｂ→Ｒ　、（x1,x2,…,xn,）|→ [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2)

の連続性さえ示してしまえば証明が終了する、というところまでは分かりました。
（残りの成分については、射影になっているので連続であることは分かります。）


この g についてε-δ論法を使ってみたのですが、どのようにδをとればよいのかが分かりません。


どなたか分かるかたがいましたら解答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： metzner 回答日時： 2011/12/13 22:54

こんにちは。

Bのノルムを |...|_n であらわすとすると、

(1 -|x|_n^2)^0.5

の連続性を示せばいいわけですよね。

ノルム自身は次から容易に連続であることが分かります。

| |x|_n -|y|_n | <= |x-y|_n

よって

(1 -t^2)^0.5

が連続であることが言えれば、連続関数の合成は連続であることより、所望の連続性が示せます。

これをいうには、

1, s^2, \sqrt{s}

の連続性を言えれば、連続関数の和、合成は連続関数であることより、示せます。

この回答へのお礼

なるほど、合成関数だと考えれば良かったのですね。
ノルムの連続性も分かりましたし、(1 -t^2)^0.5は1変数の関数なので連続性はすぐに示すことができました。

おかげ様で昨日1日中考えていたものがスッキリしました。
回答どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/12/14 15:09